Resolva a inequação.
(2 x+1)\left(x^{2}+x+1\right) \leqslant 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(2x+1)\left(x^{2}+x+1\right)\leqslant 0.
Informações dadas:
  • A expressão é um produto de dois fatores: o fator linear (2x+1) e o fator quadrático (x^{2}+x+1).
  • Quer-se determinar todos os valores reais de x que tornam esse produto menor ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro vamos estudar o sinal de cada fator separadamente. Começo pelo fator quadrático \left(x^{2}+x+1\right). Para saber se ele pode ser zero ou mudar de sinal, calculo o discriminante da parábola ax^{2}+bx+c com a=1, b=1, c=1:
\Delta = b^{2}-4ac = 1^{2}-4\cdot 1\cdot 1 = 1-4 = -3.
Como \Delta=-3<0, a equação x^{2}+x+1=0 não tem raízes reais.

Passo 3

Interpretação do resultado do discriminante: sendo a=1>0 (coeficiente do termo x^{2} positivo) e não havendo raízes reais, a parábola está sempre acima do eixo x. Logo, para todo x\in\mathbb{R} vale
x^{2}+x+1>0.
Ou seja, o segundo fator é sempre positivo e nunca zera no conjunto dos reais.

Passo 4

Se \left(x^{2}+x+1\right)>0 para todo x, o sinal do produto (2x+1)\left(x^{2}+x+1\right) é exatamente o sinal do fator (2x+1). Portanto a inequação inicial é equivalente a
2x+1\leqslant 0.
Isto porque dividir (ou “cancelar”) pela quantidade positiva x^{2}+x+1 preserva o sinal da desigualdade.

Passo 5

Resolver a desigualdade linear (2x+1)\leqslant 0. Faço as operações em passos simples:
2x+1\leqslant 0
2x\leqslant -1
x\leqslant -\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Verificação rápida com pontos de teste para ganhar confiança:
  • Para x=-1 (que satisfaz x\leqslant -\tfrac{1}{2}): 2x+1=2(-1)+1=-1 (negativo) e x^{2}+x+1=1-1+1=1 (positivo), produto negativo → satisfaz a inequação.
  • Para x=0 (que não satisfaz): 2x+1=1 (positivo) e x^{2}+x+1=1 (positivo), produto positivo → não satisfaz.
  • Para x=-\tfrac{1}{2}: 2x+1=0 e o produto é zero, que é permitido pela desigualdade \leqslant 0.
Esses testes confirmam a solução encontrada.

Resposta

x\leqslant -\tfrac{1}{2}