Resolva a inequação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas:
- A expressão é um produto de dois fatores: o fator linear
e o fator quadrático . - Quer-se determinar todos os valores reais de
que tornam esse produto menor ou igual a zero.
Passo 2
Primeiro vamos estudar o sinal de cada fator separadamente. Começo pelo fator quadrático
. Para saber se ele pode ser zero ou mudar de sinal, calculo o discriminante da parábola
com
,
,
:
Como
, a equação
não tem raízes reais.
Passo 3
Interpretação do resultado do discriminante: sendo
(coeficiente do termo
positivo) e não havendo raízes reais, a parábola está sempre acima do eixo
. Logo, para todo
vale
Ou seja, o segundo fator é sempre positivo e nunca zera no conjunto dos reais.
Passo 4
Se
para todo
, o sinal do produto
é exatamente o sinal do fator
. Portanto a inequação inicial é equivalente a
Isto porque dividir (ou “cancelar”) pela quantidade positiva
preserva o sinal da desigualdade.
Passo 5
Resolver a desigualdade linear
. Faço as operações em passos simples:
Passo 6
Verificação rápida com pontos de teste para ganhar confiança:
- Para
(que satisfaz ): (negativo) e (positivo), produto negativo → satisfaz a inequação. - Para
(que não satisfaz): (positivo) e (positivo), produto positivo → não satisfaz. - Para
: e o produto é zero, que é permitido pela desigualdade .
Esses testes confirmam a solução encontrada.