Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas:
- A expressão é uma fração racional envolvendo
. - A incógnita é
real.
O que é pedido: - Determinar todos os valores de
que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Primeiro passo prático: passar tudo para o mesmo membro e escrever a inequação como uma única fração menor ou igual a zero. Portanto:
Colocando na mesma fração (mesmo denominador
):
Agora simplifico o numerador:
Logo a inequação fica
Posso ainda fatorar o numerador:
Passo 3
Identificar os pontos críticos (onde numerador ou denominador são zero), porque só nesses pontos a expressão pode mudar de sinal ou ser nula:
- Numerador zero quando
, isto é . Nesse ponto a fração vale (desde que o denominador seja diferente de zero). - Denominador zero quando
, isto é . Nesse ponto a expressão é indefinida (não pode ser incluído na solução).
Organizando esses pontos na reta:
vem antes de
(pois
e
). Essas duas aberturas dividem a reta em três intervalos a testar:
Passo 4
Método prático: em cada intervalo escolho um ponto teste e verifico o sinal de numerador e denominador (ou diretamente da fração).
Sinais das partes:
- Numerador
: - é negativo se
, - é zero em
, - é positivo se
.
- é negativo se
- Denominador
: - é positivo se
, - é zero em
(proibido), - é negativo se
.
- é positivo se
Testes por intervalo:
- Para
: escolha . - Numerador:
(negativo). - Denominador:
(positivo). - Fração: negativo/positivo = negativo. Então a desigualdade
é satisfeita nesse intervalo (pois o valor é menor que zero).
- Numerador:
- Para
: escolha . - Numerador:
(negativo). - Denominador:
(negativo). - Fração: negativo/negativo = positivo. Então a desigualdade
NÃO é satisfeita aí.
- Numerador:
- Para
: escolha . - Numerador:
(positivo). - Denominador:
(negativo). - Fração: positivo/negativo = negativo. Então a desigualdade
é satisfeita nesse intervalo.
- Numerador:
Sobre os pontos críticos:
- Em
o numerador é zero e o denominador é . Portanto a fração vale e como a desigualdade é este ponto deve ser incluído. - Em
o denominador é zero, a expressão é indefinida, então deve ser excluído.
Passo 5
Breve comentário sobre outro método (casos de sinal do denominador), que é didaticamente útil: poderia multiplicar ambos os lados por
, mas isso exige separar os casos
e
porque ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte. Fazendo essas duas verificações obtém-se exatamente as mesmas condições que encontramos com o quadro de sinais:
- Se
(denominador positivo) obtém-se , intersectando com dá todos . - Se
(denominador negativo) a desigualdade inverte, obtém-se , intersectando com dá .
Isto confirma os resultados do passo anterior.