Resolva as inequações.
\frac{3 x-4}{1-6 x} \leq 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{3x-4}{1-6x} \leq 2.
Informações dadas:
  • A expressão é uma fração racional envolvendo x.
  • A incógnita é x real.
    O que é pedido:
  • Determinar todos os valores de x que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Primeiro passo prático: passar tudo para o mesmo membro e escrever a inequação como uma única fração menor ou igual a zero. Portanto:
\frac{3x-4}{1-6x}-2 \leq 0.
Colocando na mesma fração (mesmo denominador 1-6x):
\frac{3x-4 - 2(1-6x)}{1-6x} \leq 0.
Agora simplifico o numerador:
3x-4 -2 +12x = 15x-6.
Logo a inequação fica
\frac{15x-6}{1-6x} \leq 0.
Posso ainda fatorar o numerador:
\frac{3(5x-2)}{1-6x} \leq 0.

Passo 3

Identificar os pontos críticos (onde numerador ou denominador são zero), porque só nesses pontos a expressão pode mudar de sinal ou ser nula:
  • Numerador zero quando 5x-2=0, isto é x=\dfrac{2}{5}. Nesse ponto a fração vale 0 (desde que o denominador seja diferente de zero).
  • Denominador zero quando 1-6x=0, isto é x=\dfrac{1}{6}. Nesse ponto a expressão é indefinida (não pode ser incluído na solução).
Organizando esses pontos na reta: \dfrac{1}{6} vem antes de \dfrac{2}{5} (pois \dfrac{1}{6}\approx0,166 e \dfrac{2}{5}=0,4). Essas duas aberturas dividem a reta em três intervalos a testar:
(-\infty,\tfrac{1}{6}),\qquad (\tfrac{1}{6},\tfrac{2}{5}),\qquad (\tfrac{2}{5},\infty).

Passo 4

Método prático: em cada intervalo escolho um ponto teste e verifico o sinal de numerador e denominador (ou diretamente da fração).
Sinais das partes:
  • Numerador 15x-6 = 3(5x-2):
    • é negativo se x<\dfrac{2}{5},
    • é zero em x=\dfrac{2}{5},
    • é positivo se x>\dfrac{2}{5}.
  • Denominador 1-6x:
    • é positivo se x<\dfrac{1}{6},
    • é zero em x=\dfrac{1}{6} (proibido),
    • é negativo se x>\dfrac{1}{6}.
Testes por intervalo:
  • Para x\in(-\infty,\tfrac{1}{6}): escolha x=0.
    • Numerador: 15\cdot0-6=-6 (negativo).
    • Denominador: 1-0=1 (positivo).
    • Fração: negativo/positivo = negativo. Então a desigualdade \leq 0 é satisfeita nesse intervalo (pois o valor é menor que zero).
  • Para x\in(\tfrac{1}{6},\tfrac{2}{5}): escolha x=0{,}2.
    • Numerador: 15\cdot0{,}2-6=3-6=-3 (negativo).
    • Denominador: 1-6\cdot0{,}2=1-1{,}2=-0{,}2 (negativo).
    • Fração: negativo/negativo = positivo. Então a desigualdade \leq 0 NÃO é satisfeita aí.
  • Para x\in(\tfrac{2}{5},\infty): escolha x=1.
    • Numerador: 15\cdot1-6=9 (positivo).
    • Denominador: 1-6\cdot1= -5 (negativo).
    • Fração: positivo/negativo = negativo. Então a desigualdade \leq 0 é satisfeita nesse intervalo.
Sobre os pontos críticos:
  • Em x=\dfrac{2}{5} o numerador é zero e o denominador é 1-6\cdot\dfrac{2}{5}=1-\dfrac{12}{5}=\dfrac{5-12}{5}=-\dfrac{7}{5}\neq0. Portanto a fração vale 0 e como a desigualdade é \leq 0 este ponto deve ser incluído.
  • Em x=\dfrac{1}{6} o denominador é zero, a expressão é indefinida, então x=\dfrac{1}{6} deve ser excluído.

Passo 5

Breve comentário sobre outro método (casos de sinal do denominador), que é didaticamente útil: poderia multiplicar ambos os lados por 1-6x, mas isso exige separar os casos 1-6x>0 e 1-6x<0 porque ao multiplicar por número negativo a desigualdade inverte. Fazendo essas duas verificações obtém-se exatamente as mesmas condições que encontramos com o quadro de sinais:
  • Se x<\dfrac{1}{6} (denominador positivo) obtém-se x\le\dfrac{2}{5}, intersectando com x<\dfrac{1}{6} dá todos x<\dfrac{1}{6}.
  • Se x>\dfrac{1}{6} (denominador negativo) a desigualdade inverte, obtém-se x\ge\dfrac{2}{5}, intersectando com x>\dfrac{1}{6} x\ge\dfrac{2}{5}.
    Isto confirma os resultados do passo anterior.

Resposta

(-\infty,\tfrac{1}{6})\cup\left[\tfrac{2}{5},\infty\right)

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