Resolva as inequações.
\frac{3 x-1}{x+4}+\frac{x}{x-5} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{3x-1}{x+4}+\frac{x}{x-5}\leq 0.
Informações dadas e perguntas claras:
  • A expressão a ser estudada é \dfrac{3x-1}{x+4}+\dfrac{x}{x-5}.
  • Precisa-se encontrar todos os valores de x que tornam essa expressão menor ou igual a zero.
  • Pontos importantes a anotar (não resolve ainda): há possíveis problemas onde os denominadores se anulam, ou seja em x=-4 e x=5; esses valores não pertencem ao domínio.

Passo 2

Vamos colocar as frações sobre um denominador comum para obter uma única razão, o que facilita a análise do sinal.
Denominador comum: (x+4)(x-5).
Numerador resultante:
(3x-1)(x-5)+x(x+4).
Vamos expandir passo a passo:
(3x-1)(x-5)=3x^2-15x-x+5=3x^2-16x+5,
x(x+4)=x^2+4x.
Somando:
3x^2-16x+5 + x^2+4x = 4x^2-12x+5.
Portanto a inequação é equivalente (lembrando domínio) a
\frac{4x^2-12x+5}{(x+4)(x-5)} \leq 0.

Passo 3

Determinar o domínio e os pontos críticos:
  • Os denominadores se anulam em x=-4 e x=5; esses valores estão fora do domínio e não podem ser soluções.
  • Os zeros do numerador dão pontos onde a fração pode ser zero — esses pontos são candidatos a entrar na solução porque a desigualdade é “ \leq 0”.

Passo 4

Achar os zeros do numerador 4x^2-12x+5.
Usamos a fórmula quadrática. Para ax^2+bx+c=0 temos
x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.
Aqui a=4, b=-12, c=5. O discriminante é
\Delta = b^2-4ac = (-12)^2-4\cdot4\cdot5 = 144-80=64.
\sqrt{\Delta}=8. Logo as raízes são
x=\frac{12\pm 8}{8}.
Isto dá
x_1=\frac{12-8}{8}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2},\qquad x_2=\frac{12+8}{8}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}.
Portanto o numerador se anula em x=\tfrac{1}{2} e x=\tfrac{5}{2}.

Passo 5

Organizar os pontos críticos em ordem crescente para montar o quadro de sinais:
- \infty \quad,\quad -4 \quad,\quad \tfrac{1}{2} \quad,\quad \tfrac{5}{2} \quad,\quad 5 \quad,\quad +\infty.
Nesses pontos a expressão pode mudar de sinal (zeros do numerador ou do denominador). Agora vamos testar o sinal da fração em cada intervalo entre pontos críticos.

Passo 6

Método prático: escolho um ponto teste em cada intervalo e avalio o sinal de numerador e denominador separadamente. Pontos testes escolhidos: x=-5,\,0,\,1,\,3,\,6.
  1. Para x=-5 (intervalo (-\infty,-4)):
  • Numerador: 4(-5)^2-12(-5)+5=4\cdot25+60+5=165>0.
  • Denominador: (x+4)(x-5)=(-1)\cdot(-10)=+10>0.
  • Fração: +\!/\!+=+. Conclusão: sinal positivo.
  1. Para x=0 (intervalo (-4,\tfrac{1}{2})):
  • Numerador: 4\cdot0^2-12\cdot0+5=5>0.
  • Denominador: (0+4)(0-5)=4\cdot(-5)=-20<0.
  • Fração: +\!/\!- = -. Conclusão: sinal negativo.
  1. Para x=1 (intervalo (\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{2})):
  • Numerador: 4\cdot1^2-12\cdot1+5=4-12+5=-3<0.
  • Denominador: (1+4)(1-5)=5\cdot(-4)=-20<0.
  • Fração: -\!/\!- = +. Conclusão: sinal positivo.
  1. Para x=3 (intervalo (\tfrac{5}{2},5)):
  • Numerador: 4\cdot3^2-12\cdot3+5=36-36+5=5>0.
  • Denominador: (3+4)(3-5)=7\cdot(-2)=-14<0.
  • Fração: +\!/\!- = -. Conclusão: sinal negativo.
  1. Para x=6 (intervalo (5,\infty)):
  • Numerador: 4\cdot6^2-12\cdot6+5=144-72+5=77>0.
  • Denominador: (6+4)(6-5)=10\cdot1=10>0.
  • Fração: +\!/\!+=+. Conclusão: sinal positivo.
Resumo dos sinais por intervalo:
  • (-\infty,-4): positivo
  • ( -4,\tfrac{1}{2}): negativo
  • (\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{2}): positivo
  • (\tfrac{5}{2},5): negativo
  • (5,\infty): positivo

Passo 7

Agora traduzimos isso para a inequação \dfrac{4x^2-12x+5}{(x+4)(x-5)}\leq 0.
  • Onde a fração é negativa, as x satisfazem a inequação;
  • Onde a fração é zero (ou seja, numerador zero e denominador não zero), esses x também satisfazem a inequação porque é “ \leq 0”.
  • Pontos onde o denominador se anula ( x=-4,5) são excluídos.
Pelo quadro de sinais:
  • Intervalo ( -4,\tfrac{1}{2}) é negativo → entra na solução.
  • x=\tfrac{1}{2} anula o numerador e denomina-dor é diferente de zero → entra na solução.
  • Intervalo (\tfrac{1}{2},\tfrac{5}{2}) é positivo → não entra.
  • x=\tfrac{5}{2} anula o numerador e denomina-dor é diferente de zero → entra na solução.
  • Intervalo (\tfrac{5}{2},5) é negativo → entra na solução.
  • x=-4 e x=5 são excluídos.
Unindo e escrevendo em notação de intervalos, a solução é
\left(-4,\tfrac{1}{2}\right]\cup\left[\tfrac{5}{2},5\right).

Resposta

\left(-4,\tfrac{1}{2}\right]\cup\left[\tfrac{5}{2},5\right)

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