Resolva as inequações.
Passo 1
Enunciado claro: resolver a inequação
.
O que é pedido: encontrar todos os valores de que tornam verdadeira a desigualdade.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
O que é pedido: encontrar todos os valores de
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- Numerador:
. - Denominador:
. - A expressão é uma fração racional; atenção: a fração não está definida quando o denominador é zero (ou seja, em
).
Passo 2
Ideia geral e estratégia (explicação didática): para desigualdades com frações racionais do tipo
a técnica prática é:
- Encontrar os pontos críticos onde o numerador é zero (a fração pode valer
) e onde o denominador é zero (a fração é indefinida). Esses pontos dividem a reta em intervalos. - Em cada intervalo, testar o sinal da fração (positivo ou negativo) escolhendo um valor teste; como a fração é contínua entre esses pontos, o sinal só pode mudar ao cruzar um ponto crítico.
- Montar a solução incluindo os pontos onde a fração é zero se a desigualdade permitir igualdade (
ou ), e excluindo os pontos onde a fração é indefinida (denominador zero).
Aplicando: encontrar os zeros de numerador e denominador.
- Numerador
dá . - Denominador
dá .
Portanto os pontos críticos sãoe . Vamos usar esses pontos para dividir a reta em três intervalos.
Passo 3
Divisão em intervalos e escolha de pontos-teste:
Os intervalos são ,
e
. Escolho um ponto em cada intervalo para testar o sinal da fração.
Os intervalos são
- Intervalo
. Tomo .
- Numerador:
(negativo). - Denominador:
(negativo). - Fração: negativo dividido por negativo = positivo.
Logo, ema fração é positiva.
- Intervalo
. Tomo .
- Numerador:
(positivo). - Denominador:
(negativo). - Fração: positivo dividido por negativo = negativo.
Logo, ema fração é negativa.
- Intervalo
. Tomo .
- Numerador:
(positivo). - Denominador:
(positivo). - Fração: positivo dividido por positivo = positivo.
Logo, ema fração é positiva.
Passo 4
Tratamento dos pontos críticos (incluir/excluir):
- Em
o numerador zera e o denominador vale , portanto a fração vale . Como a desigualdade é , o ponto deve ser incluído na solução. - Em
o denominador zera, a fração é indefinida; portanto deve ser excluído da solução.
Passo 5
Conclusão (juntando resultados): a fração é positiva em
e em
, e vale
em
. Sendo a desigualdade
, inclui-se
e exclui-se
. Assim a solução é
Dica final para a prova: sempre localize zeros do numerador (podem ser incluídos quando há
ou
) e zeros do denominador (sempre excluídos). Teste um ponto em cada intervalo entre esses valores para determinar o sinal; assim evita erro e dispensa álgebra complicada.