Resolva as inequações.
\frac{x+4}{x-2} \geq 0

Passo 1

Enunciado claro: resolver a inequação \dfrac{x+4}{x-2}\ge 0.
O que é pedido: encontrar todos os valores de x\in\mathbb{R} que tornam verdadeira a desigualdade.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • Numerador: x+4.
  • Denominador: x-2.
  • A expressão é uma fração racional; atenção: a fração não está definida quando o denominador é zero (ou seja, em x=2).

Passo 2

Ideia geral e estratégia (explicação didática): para desigualdades com frações racionais do tipo \dfrac{A(x)}{B(x)}\ge 0 a técnica prática é:
  1. Encontrar os pontos críticos onde o numerador é zero (a fração pode valer 0) e onde o denominador é zero (a fração é indefinida). Esses pontos dividem a reta em intervalos.
  2. Em cada intervalo, testar o sinal da fração (positivo ou negativo) escolhendo um valor teste; como a fração é contínua entre esses pontos, o sinal só pode mudar ao cruzar um ponto crítico.
  3. Montar a solução incluindo os pontos onde a fração é zero se a desigualdade permitir igualdade ( \ge ou \le), e excluindo os pontos onde a fração é indefinida (denominador zero).
Aplicando: encontrar os zeros de numerador e denominador.
  • Numerador x+4=0 x=-4.
  • Denominador x-2=0 x=2.
    Portanto os pontos críticos são x=-4 e x=2. Vamos usar esses pontos para dividir a reta em três intervalos.

Passo 3

Divisão em intervalos e escolha de pontos-teste:
Os intervalos são (-\infty,-4), (-4,2) e (2,\infty). Escolho um ponto em cada intervalo para testar o sinal da fração.
  1. Intervalo (-\infty,-4). Tomo x=-5.
  • Numerador: (-5)+4=-1 (negativo).
  • Denominador: (-5)-2=-7 (negativo).
  • Fração: negativo dividido por negativo = positivo.
    Logo, em (-\infty,-4) a fração é positiva.
  1. Intervalo (-4,2). Tomo x=0.
  • Numerador: 0+4=4 (positivo).
  • Denominador: 0-2=-2 (negativo).
  • Fração: positivo dividido por negativo = negativo.
    Logo, em (-4,2) a fração é negativa.
  1. Intervalo (2,\infty). Tomo x=3.
  • Numerador: 3+4=7 (positivo).
  • Denominador: 3-2=1 (positivo).
  • Fração: positivo dividido por positivo = positivo.
    Logo, em (2,\infty) a fração é positiva.

Passo 4

Tratamento dos pontos críticos (incluir/excluir):
  • Em x=-4 o numerador zera e o denominador vale -6\neq0, portanto a fração vale 0. Como a desigualdade é \ge 0, o ponto x=-4 deve ser incluído na solução.
  • Em x=2 o denominador zera, a fração é indefinida; portanto x=2 deve ser excluído da solução.

Passo 5

Conclusão (juntando resultados): a fração é positiva em (-\infty,-4) e em (2,\infty), e vale 0 em x=-4. Sendo a desigualdade \ge 0, inclui-se x=-4 e exclui-se x=2. Assim a solução é
(-\infty,-4]\cup(2,\infty).
Dica final para a prova: sempre localize zeros do numerador (podem ser incluídos quando há \ge ou \le) e zeros do denominador (sempre excluídos). Teste um ponto em cada intervalo entre esses valores para determinar o sinal; assim evita erro e dispensa álgebra complicada.

Resposta

\,(-\infty,-4]\cup(2,\infty)\,

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