Resolva as inequações:
x+\frac{1}{x}>2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação \,x+\dfrac{1}{x}>2\, para x real. Informações e observações imediatas:
  • A expressão não está definida em x=0. Então x\neq0.
  • A tarefa é encontrar todos os números reais x (exceto zero) que satisfazem \,x+\dfrac{1}{x}>2\,.

Passo 2

Vamos juntar tudo numa única fração para facilitar a análise. Subtraindo 2 de ambos os lados e colocando em um único denominador, obtemos:
x+\dfrac{1}{x}-2=\dfrac{x^2+1-2x}{x}.
Simplificando o numerador como quadrado perfeito:
\dfrac{x^2+1-2x}{x}=\dfrac{(x-1)^2}{x}.
Portanto a inequação original é equivalente a
\frac{(x-1)^2}{x}>0.

Passo 3

Agora interpretamos a fração \dfrac{(x-1)^2}{x}.
  • O numerador (x-1)^2 é um quadrado, logo (x-1)^2\ge0 para todo x. Além disso (x-1)^2=0 apenas quando x=1; para x\neq1 temos (x-1)^2>0.
  • O denominador é x, cujo sinal depende de x.
Para que uma fração seja estritamente positiva ( >\!0), há duas possibilidades em geral:
  • numerador >0 e denominador >0, ou
  • numerador <0 e denominador <0.
Aqui o numerador nunca é negativo (é um quadrado). Logo a segunda possibilidade é impossível. Resta apenas a primeira: precisamos de
(x-1)^2>0 \quad\text{e}\quad x>0.

Passo 4

Examinar cada condição:
  • (x-1)^2>0 acontece para todo x exceto x=1. Em x=1 o numerador é zero e a fração vale 0, não satisfazendo a desigualdade estrita.
  • x>0 é a condição sobre o denominador (lembrando que x\neq0 já foi observado).
Combinando: devemos ter x>0 e x\neq1. Não existem soluções com x<0, porque se x<0 então o denominador é negativo e o numerador é \ge0, o que impede a fração de ser >0 (seria \le0).

Passo 5

Checagem rápida com valores-piloto (para ganhar confiança):
  • Para x=\tfrac{1}{2} (positivo e diferente de 1): x+\dfrac{1}{x}=\tfrac{1}{2}+2=2{,}5>2 — vale.
  • Para x=2: 2+\tfrac{1}{2}=2{,}5>2 — vale.
  • Para x=1: 1+1=2 — não vale (é igual a 2, mas queremos >\!2).
  • Para x=-1: -1-1=-2 — não vale.

Passo 6

Conclusão lógica da análise: a inequação é satisfeita exatamente por todos os x positivos, exceto x=1.

Resposta

(0,1)\cup(1,\infty)