Resolva as inequações:
x+\frac{1}{x}>2
x+\frac{1}{x}>2
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
para
real. Informações e observações imediatas:
- A expressão não está definida em
. Então . - A tarefa é encontrar todos os números reais
(exceto zero) que satisfazem .
Passo 2
Vamos juntar tudo numa única fração para facilitar a análise. Subtraindo
de ambos os lados e colocando em um único denominador, obtemos:
Simplificando o numerador como quadrado perfeito:
Portanto a inequação original é equivalente a
Passo 3
Agora interpretamos a fração
.
- O numerador
é um quadrado, logo para todo . Além disso apenas quando ; para temos . - O denominador é
, cujo sinal depende de .
Para que uma fração seja estritamente positiva (
), há duas possibilidades em geral:
- numerador
e denominador , ou - numerador
e denominador .
Aqui o numerador nunca é negativo (é um quadrado). Logo a segunda possibilidade é impossível. Resta apenas a primeira: precisamos de
Passo 4
Examinar cada condição:
-
acontece para todo exceto . Em o numerador é zero e a fração vale , não satisfazendo a desigualdade estrita. -
é a condição sobre o denominador (lembrando que já foi observado).
Combinando: devemos ter
e
. Não existem soluções com
, porque se
então o denominador é negativo e o numerador é
, o que impede a fração de ser
(seria
).
Passo 5
Checagem rápida com valores-piloto (para ganhar confiança):
- Para
(positivo e diferente de ): — vale. - Para
: — vale. - Para
: — não vale (é igual a , mas queremos ). - Para
: — não vale.
Passo 6
Conclusão lógica da análise: a inequação é satisfeita exatamente por todos os
positivos, exceto
.