Resolva:
\int \arcsin x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função \arcsin x, ou seja encontrar
\int \arcsin x \, dx.
Informações dadas e observações importantes: \arcsin x é definida para -1\le x\le 1. Queremos uma expressão F(x) tal que F'(x)=\arcsin x. Vamos procurar uma primitiva em termos elementares e adicionar a constante de integração C no final.

Passo 2

Ferramenta principal: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando a fórmula: u e v são funções de x; du é a diferencial de u e v é uma primitiva de dv. A ideia é escolher u para que du seja mais simples que u, e dv de forma que possamos integrar facilmente para obter v.
Escolha prática para este problema: tomar
u = \arcsin x,\qquad dv = dx.
Motivo: \arcsin x tem derivada simples em termos de raízes, e dv=dx é trivial de integrar (gera v=x). Essa escolha costuma simplificar o restante.

Passo 3

Calculemos du e v. Sabemos a derivada de \arcsin x:
\frac{d}{dx}\big(\arcsin x\big)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Logo
du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.
E integrando dv,
v = \int dx = x.

Passo 4

Aplique a fórmula de integração por partes:
\int \arcsin x \, dx = u v - \int v\,du
que, com os u,v,du acima, fica
\int \arcsin x \, dx = x\arcsin x - \int x\cdot\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}.
Portanto reduzimos o problema a calcular a integral
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx.

Passo 5

Calcule a integral \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx por substituição útil. Defina
t = 1-x^2.
Então
dt = -2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\frac{dt}{2}.
Substituindo na integral:
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \int \frac{x\,dx}{\sqrt{t}} = \int \frac{-dt/2}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt.
Integrando:
-\frac{1}{2}\int t^{-1/2}\,dt = -\frac{1}{2}\cdot 2 t^{1/2} + C = -\sqrt{t} + C.
Voltando a x,
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = -\sqrt{1-x^2} + C.

Passo 6

Voltemos à expressão obtida na integração por partes:
\int \arcsin x \, dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \, dx.
Substituindo o resultado do Passo 5:
\int \arcsin x \, dx = x\arcsin x - \big(-\sqrt{1-x^2}\big) + C = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil para a prova): derivando o resultado para checar se volta a \arcsin x.
Derivando F(x)=x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}:
F'(x)=\arcsin x + x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\cdot(-2x).
Os últimos dois termos cancelam:
x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - x\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 0,
restando F'(x)=\arcsin x. Está correto.

Resposta

x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C