Resolva:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (antiderivada) da função
, ou seja encontrar
Informações dadas e observações importantes:
é definida para
. Queremos uma expressão
tal que
. Vamos procurar uma primitiva em termos elementares e adicionar a constante de integração
no final.
Passo 2
Ferramenta principal: integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Explicando a fórmula:
e
são funções de
;
é a diferencial de
e
é uma primitiva de
. A ideia é escolher
para que
seja mais simples que
, e
de forma que possamos integrar facilmente para obter
.
Escolha prática para este problema: tomar
Motivo:
tem derivada simples em termos de raízes, e
é trivial de integrar (gera
). Essa escolha costuma simplificar o restante.
Passo 3
Calculemos
e
. Sabemos a derivada de
:
Logo
E integrando
,
Passo 4
Aplique a fórmula de integração por partes:
que, com os
acima, fica
Portanto reduzimos o problema a calcular a integral
Passo 5
Calcule a integral
por substituição útil. Defina
Então
Substituindo na integral:
Integrando:
Voltando a
,
Passo 6
Voltemos à expressão obtida na integração por partes:
Substituindo o resultado do Passo 5:
Passo 7
Verificação rápida (útil para a prova): derivando o resultado para checar se volta a
.
Derivando :
Derivando
Os últimos dois termos cancelam:
restando
. Está correto.