Resolva as integrais abaixo. integral x d x(x+1)(x^2+1)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver a integral integral x , dx(x+1)(x^2+1). Vamos usar o conteúdo de frações parciais da matéria de cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x(x+1)(x^2+1) em frações parciais. Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de termos mais simples que a gente consegue integrar facilmente.

Passo 3

Vamos supor que:
x(x+1)(x^2+1) = Ax+1 + Bx + Cx^2+1
Aqui, A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados pela expressão denominadora (x+1)(x^2+1), temos:
x = A(x^2+1) + (Bx + C)(x+1)

Passo 5

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
x = A x^2 + A + Bx(x) + Bx(1) + C(x) + C(1)
Simplificando:
x = A x^2 + A + B x^2 + B x + C x + C

Passo 6

Agrupando os termos semelhantes:
x = (A + B) x^2 + (B + C) x + (A + C)

Passo 7

Para que as duas expressões sejam iguais para todo valor de x, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o seguinte sistema de equaç��es:
A + B = 0 B + C = 1 A + C = 0

Passo 8

Resolvendo o sistema:
  • Da primeira equação: A = -B
  • Da terceira equação: A + C = 0 Rightarrow C = -A
  • Substituindo A = -B na segunda equação: B + (-A) = 1 Rightarrow B + B = 1 Rightarrow 2B = 1 Rightarrow B = 12
  • Então, A = -12 e C = 12

Passo 9

Agora, substituímos os valores encontrados na decomposição:
x(x+1)(x^2+1) = -12x+1 + 12x + 12x^2+1
Simplificando:
x(x+1)(x^2+1) = -12cdot1x+1 + 12cdotx+1x^2+1

Passo 10

Agora, separando as frações:
-12cdot1x+1 + 12cdotxx^2+1 + 12cdot1x^2+1

Passo 11

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral x(x+1)(x^2+1) , dx = -12 integral 1x+1 , dx + 12 integral xx^2+1 , dx + 12 integral 1x^2+1 , dx

Passo 12

Calculando cada integral:
  1. - 12 integral 1x+1 , dx = -12 ln|x+1| + C1
  2. 12 integral xx^2+1 , dx = 14 ln|x^2+1| + C2 (fazendo a substituição u = x^2+1)
  3. 12 integral 1x^2+1 , dx = 12 arctan(x) + C3

Passo 13

Juntando tudo e simplificando as constantes:
-12 ln|x+1| + 14 ln|x^2+1| + 12 arctan(x) + C

Resposta

A integral resolvida é:
integral x , dx(x+1)(x^2+1) = -12 ln|x+1| + 14 ln|x^2+1| + 12 arctan(x) + C

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