Resolva as integrais definidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int_{3}^{8} \frac{x}{\sqrt{1+x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{3}^{8}\frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx
O conteúdo principal é integração por substituição, pois temos \sqrt{1+x} no denominador.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 1 + x, \quad du = dx, \quad x = u - 1.
Quando x=3, u=4; quando x=8, u=9.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u:
\int_{3}^{8}\frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx = \int_{u=4}^{u=9}\frac{u-1}{\sqrt{u}}\,du = \int_{4}^{9}\bigl(u^{1/2}-u^{-1/2}\bigr)\,du.

Passo 4

Calculamos a primitiva de u^{1/2}-u^{-1/2}. Sabemos que
\int u^{1/2}\,du = \frac{2}{3}u^{3/2}, \quad \int u^{-1/2}\,du = 2\,u^{1/2}.
Logo, uma primitiva é
F(u)=\frac{2}{3}u^{3/2}-2\,u^{1/2}.

Passo 5

Voltando a x, a primitiva fica
F(1+x)=\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}-2(1+x)^{1/2}.
A integral definida é
\int_{3}^{8}\frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx =F(9)-F(4).

Passo 6

Calculando cada valor:
9^{1/2}=3,\;9^{3/2}=27\;\Longrightarrow\;F(9)=\frac{2}{3}\cdot27-2\cdot3=18-6=12,
4^{1/2}=2,\;4^{3/2}=8\;\Longrightarrow\;F(4)=\frac{2}{3}\cdot8-2\cdot2=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}.
Portanto,
\int_{3}^{8}\frac{x}{\sqrt{1+x}}\,dx =12-\frac{4}{3} =\frac{36-4}{3} =\frac{32}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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