Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int_{0}^{2} \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\,dx.
Para isso vamos usar o método de substituição para encontrar primeiro a primitiva de \dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}} e depois aplicar os limites de 0 a 2.

Passo 2

Vamos achar a antiderivada de \dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}}. Faça a substituição
u = 1 + e^{-x},
então
du = -\,e^{-x}\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{-x}\,dx = -\,du.
Logo, em forma de integral indefinida, temos
\int \frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\,dx = \int \frac{-\,du}{u} = -\ln\bigl|u\bigr| + C = -\ln\bigl(1+e^{-x}\bigr) + C.

Passo 3

Agora aplicamos os limites de x=0 até x=2. Usando
F(x) = -\ln\bigl(1+e^{-x}\bigr),
temos
\int_{0}^{2}\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\,dx = F(2) - F(0) = \bigl[-\ln\bigl(1+e^{-x}\bigr)\bigr]_{0}^{2} = -\ln\bigl(1+e^{-2}\bigr) - \bigl[-\ln\bigl(1+e^{0}\bigr)\bigr].
Como e^{0}=1, isso fica
-\ln\bigl(1+e^{-2}\bigr) + \ln(1+1) = \ln(2) - \ln\bigl(1+e^{-2}\bigr) = \ln\!\Bigl(\frac{2}{1+e^{-2}}\Bigr).

Resposta

\int_{0}^{2}\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}\,dx = \ln\!\Bigl(\frac{2}{1+e^{-2}}\Bigr).

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