Resolva as integrais definidas e indefinidas abaixo, utilizando o método que julgar mais conveniente:
\int \frac{(\sqrt{x}+1)^{1 / 3}}{\sqrt{x}} d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada da função
\frac{(\sqrt{x}+1)^{1/3}}{\sqrt{x}}
ou seja, calcular
\int \frac{(\sqrt{x}+1)^{1/3}}{\sqrt{x}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar substituição para transformar essa expressão com raízes numa potência simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sqrt{x} + 1.
Então \sqrt{x} = t - 1 e
x = (t-1)^2 \quad\Longrightarrow\quad dx = 2(t-1)\,dt.

Passo 3

Em termos de t, o integrando fica
\frac{(\sqrt{x}+1)^{1/3}}{\sqrt{x}}\,dx = \frac{t^{1/3}}{\,t-1\,}\cdot 2(t-1)\,dt = 2\,t^{1/3}\,dt.
Portanto
\int \frac{(\sqrt{x}+1)^{1/3}}{\sqrt{x}}\,dx = \int 2\,t^{1/3}\,dt.

Passo 4

Calculamos a integral em t:
\int 2\,t^{1/3}\,dt = 2\int t^{1/3}\,dt = 2\cdot\frac{t^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{2}\,t^{4/3} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, lembramos que t = \sqrt{x}+1. Logo a antiderivada é
\frac{3}{2}\bigl(\sqrt{x}+1\bigr)^{4/3} + C.

Resposta

\frac{3}{2}\bigl(\sqrt{x}+1\bigr)^{4/3} + C.

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