Resolva as integrais das funções racionais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral de uma função racional, que é tipo uma fração com polinômios no numerador e no denominador. O exercício que temos é:
Para resolver isso, vamos usar a técnica das frações parciais, que ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador e o numerador pra ver se dá pra simplificar a fração. O denominador é
. Podemos fatorar assim:
Agora, o numerador
também dá pra fatorar, usando a soma de cubos:
Então, a nossa fração fica:
Passo 3
Agora, vamos usar a técnica das frações parciais. A ideia é escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. Com os fatores do denominador, a gente pode escrever:
Aqui,
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos expandir o lado esquerdo:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos:
- Coeficiente de
: → Não há no lado direito, então isso indica que precisamos revisar nossos passos. Na verdade, percebemos que no lado esquerdo, após a expansão correta, só temos , e no lado direito, o maior grau é .
Isso significa que houve um erro na fatoração ou na aplicação das frações parciais. Vamos verificar a fatoração novamente.
Passo 7
Vamos reavaliar a fatoração do numerador e denominador:
Denominador:
Numerador:
Parece que a fatoração está correta, então devemos ajustar a abordagem para as frações parciais. Talvez precisemos de um termo adicional devido ao grau do numerador ser igual ao do denominador.
Passo 8
Como o grau do numerador (
) é igual ao do denominador (
), precisamos fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais. Vamos dividir
por
.
Mas para simplificar, vamos reescrever a fração original:
Ao dividir
por
, obtemos uma parte constante mais uma fração de grau menor, permitindo aplicar frações parciais.
Passo 9
Na verdade, para facilitar, podemos reescrever a fração original de modo a deixar o denominador com coeficiente líder igual a 1:
Agora, o grau do numerador e denominador é o mesmo, então fazemos a divisão:
Dividindo
por
, a parte inteira é
, e o resto é
.
Então, temos:
Agora, a segunda fração tem grau menor no numerador, e podemos aplicar frações parciais.
Passo 10
Vamos focar na segunda fração:
Simplificando os fatores:
Agora, aplicamos as frações parciais:
Passo 11
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos:
Vamos expandir cada termo:
Então, a equação fica:
Passo 12
Agora, vamos igualar os coeficientes:
- Não há
no lado esquerdo, então: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 13
Vamos resolver o sistema de equações:
Substituindo
na equação 2:
Multiplicando tudo por 4 para eliminar frações:
Agora, substituindo
na equação 1:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Substituindo
na equação
:
Passo 14
Agora que temos
,
e
, podemos reescrever a fração parcial:
Simplificando:
Passo 15
Agora, voltando à nossa integral original:
Vamos integrar cada termo separadamente.
Passo 16
Integrando termo a termo:
-
-
-
: Fazendo uma substituição, então , ou seja, . Então: -
: Fazendo uma substituição, então , ou seja, . Então:
Passo 17
Juntando tudo, nossa integral fica:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral resolve-se por: