Resolva as integrais das funções racionais: integral (x^3+1) d x4 x^3-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral de uma função racional, que é tipo uma fração com polinômios no numerador e no denominador. O exercício que temos é:
integral (x^3+1) dx4 x^3-x
Para resolver isso, vamos usar a técnica das frações parciais, que ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador e o numerador pra ver se dá pra simplificar a fração. O denominador é 4x^3 - x = x(4x^2 - 1) = x(2x - 1)(2x + 1) . Podemos fatorar assim:
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1)
Agora, o numerador (x + 1)(x^2 - x + 1)x(2x - 1)(2x + 1) também dá pra fatorar, usando a soma de cubos:
Então, a nossa fração fica:

Passo 3

Agora, vamos usar a técnica das frações parciais. A ideia é escrever a fração original como uma soma de frações mais simples. Com os fatores do denominador, a gente pode escrever:
(x + 1)(x^2 - x + 1)x(2x - 1)(2x + 1) = Ax + B2x - 1 + C2x + 1
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar (x + 1)(x^2 - x + 1) = A(2x - 1)(2x + 1) + Bx(2x + 1) + Cx(2x - 1) , (x + 1)(x^2 - x + 1) = A(4x^2 - 1) + B(2x^2 + x) + C(2x^2 - x) e , vamos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Agora, vamos expandir e simplificar cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos expandir o lado esquerdo:
(x + 1)(x^2 - x + 1) = x(x^2 - x + 1) + 1(x^2 - x + 1) = x^3 - x^2 + x + x^2 - x + 1 = x^3 + 1
Então, a equação fica:
x^3 + 1 = (4A + 2B + 2C)x^2 + (B - C)x - A

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos:
  1. Coeficiente de : → Não há no lado direito, então isso indica que precisamos revisar nossos passos. Na verdade, percebemos que no lado esquerdo, após a expansão correta, só temos , e no lado direito, o maior grau é .
Isso significa que houve um erro na fatoração ou na aplicação das frações parciais. Vamos verificar a fatoração novamente.

Passo 7

Vamos reavaliar a fatoração do numerador e denominador:
Denominador:
4x^3 - x = x(4x^2 - 1) = x(2x - 12)(2x + 12) (correto)
Numerador:
x^3 + 1 = (x + 1)(x^2 - x + 1) (correto)
Parece que a fatoração está correta, então devemos ajustar a abordagem para as frações parciais. Talvez precisemos de um termo adicional devido ao grau do numerador ser igual ao do denominador.

Passo 8

Como o grau do numerador ( x^3 + 14x^3 - x = x^3 + 1x(4x^2 - 1) = x^3 + 1x(2x - 12)(2x + 12) ) é igual ao do denominador ( ), precisamos fazer uma divisão polinomial antes de aplicar as frações parciais. Vamos dividir por .
Mas para simplificar, vamos reescrever a fração original:
Ao dividir por , obtemos uma parte constante mais uma fração de grau menor, permitindo aplicar frações parciais.

Passo 9

Na verdade, para facilitar, podemos reescrever a fração original de modo a deixar o denominador com coeficiente líder igual a 1:
x^3 + 14x^3 - x = x^3 + 1x(4x^2 - 1) = x^3 + 14x^3 - x = 14 cdot x^3 + 1x^3 - 14x
Agora, o grau do numerador e denominador é o mesmo, então fazemos a divisão:
Dividindo x^3 + 14x^3 - x = 14 + x4 + 14x^3 - x por , a parte inteira é , e o resto é .
Então, temos:
Agora, a segunda fração tem grau menor no numerador, e podemos aplicar frações parciais.

Passo 10

Vamos focar na segunda fração:
x4 + 1x(4x^2 - 1) = x4 + 1x(2x - 12)(2x + 12)
Simplificando os fatores:
4x^3 - x = x(4x^2 - 1) = x(2x - 12)(2x + 12)
Agora, aplicamos as frações parciais:
x4 + 1x(2x - 12)(2x + 12) = Ax + B2x - 12 + C2x + 12

Passo 11

Multiplicando ambos os lados por x4 + 1 = A(2x - 12)(2x + 12) + Bx(2x + 12) + Cx(2x - 12) , obtemos:
x4 + 1 = (4A + 2B + 2C)x^2 + (A + B2 - C2)x - A4
Vamos expandir cada termo:
Então, a equação fica:

Passo 12

Agora, vamos igualar os coeficientes:
  1. Não há 4A + 2B + 2C = 0 no lado esquerdo, então: 14 = A + B2 - C2
  2. Coeficiente de 1 = -A4 :
  3. Termo constante:

Passo 13

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. 14 = -4 + B2 - C2
Substituindo 1 = -16 + 2B - 2C Rightarrow 2B - 2C = 17 Rightarrow B - C = 172 na equação 2:
4(-4) + 2B + 2C = 0 Rightarrow -16 + 2B + 2C = 0 Rightarrow 2B + 2C = 16 Rightarrow B + C = 8
Multiplicando tudo por 4 para eliminar frações:
B + C = 8 B - C = 172
Agora, substituindo 2B = 8 + 172 = 16 + 172 = 332 Rightarrow B = 334 na equação 1:
334 + C = 8 Rightarrow C = 8 - 334 = 324 - 334 = -14
Agora temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na equação :

Passo 14

Agora que temos x4 + 1x(2x - 12)(2x + 12) = -4x + 3342x - 12 + -142x + 12 , = -4x + 334(2x - 12) - 14(2x + 12) e , podemos reescrever a fração parcial:
Simplificando:

Passo 15

Agora, voltando à nossa integral original:
integral x^3 + 14x^3 - x dx = 14 integral dx + integral ( -4x + 334(2x - 12) - 14(2x + 12) ) dx
Vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 16

Integrando termo a termo:
  1. integral 334u cdot du2 = 338 ln|u| = 338 ln|2x - 12|
  2. -14 integral 1v cdot dv2 = -18 ln|v| = -18 ln|2x + 12|
  3. :
    Fazendo uma substituição , então , ou seja, .
    Então:
  4. :
    Fazendo uma substituição , então , ou seja, .
    Então:

Passo 17

Juntando tudo, nossa integral fica:
14x - 4 ln|x| + 338 ln|2x - 12| - 18 ln|2x + 12| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral resolve-se por:
14x - 4 ln|x| + 338 ln|2x - 12| - 18 ln|2x + 12| + C

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