Resolva as integrais indefinidas a seguir: integral x log 2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x log 2 x , dx. Essa questão está relacionada ao cálculo de integrais que envolvem funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de integração por partes e também transformar o logaritmo de base 2 para a base natural, que é mais fácil de trabalhar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o logaritmo de base 2 pode ser convertido para a base natural (ln) usando a seguinte fórmula:
log2 x = ln xln 2
Assim, nossa integral fica:
integral x log 2 x , dx = 1ln 2 integral x ln x , dx

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral integral x ln x , dx usando a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = ln x (pois sua derivada simplifica a expressão)
  • dv = x , dx (pois sua integral é fácil de encontrar)

Passo 4

Calculamos du e v:
du = 1x , dx
v = integral x , dx = 12 x^2

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x ln x , dx = uv - integral v , du
Substituindo:
= 12 x^2 ln x - integral 12 x^2 cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
= 12 x^2 ln x - 12 integral x , dx

Passo 6

Integral de x , dx:
integral x , dx = 12 x^2
Substituindo de volta:
= 12 x^2 ln x - 12 cdot 12 x^2 + C
= 12 x^2 ln x - 14 x^2 + C

Passo 7

Lembrando que tudo isso estava multiplicado por 1ln 2, voltamos à nossa integral original:
integral x log 2 x , dx = 1ln 2 ( 12 x^2 ln x - 14 x^2 ) + C
Simplificando:
= x^22 ln 2 ln x - x^24 ln 2 + C

Resposta

A integral resolvida é:
integral x log 2 x , dx = x^22 ln 2 ln x - x^24 ln 2 + C

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