Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes:
\int e^{5 x} \cdot \cos (2 x) d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int e^{5x}\cos(2x)\,dx.
Informações dadas: a função integranda é o produto de e^{5x} com \cos(2x). Queremos uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função, mais a constante de integração C.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: a fórmula da integração por partes. Ela diz que, para duas funções diferenciáveis u(x) e v(x),
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando: aqui u é uma função que escolhemos para diferenciar (calcular du) e dv é uma parte que escolhemos para integrar (calcular v). A ideia é simplificar a integral original trocando-a por outra que seja mais fácil de calcular, ou que permita voltar ao ponto inicial e resolver por álgebra.

Passo 3

Escolha inicial (motivo: e^{5x} tem derivada proporcional a si mesma, e \cos(2x) é fácil de integrar):
u = e^{5x},\qquad dv = \cos(2x)\,dx.
Calcule du e v:
du = \frac{d}{dx}(e^{5x})\,dx = 5e^{5x}\,dx,
v = \int \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\sin(2x).
Agora aplique a fórmula:
\int e^{5x}\cos(2x)\,dx = uv - \int v\,du = e^{5x}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x) - \int \frac{1}{2}\sin(2x)\cdot 5e^{5x}\,dx.
Simplificando constantes, definimos I como a integral desejada:
I=\int e^{5x}\cos(2x)\,dx,
então obtemos
I = \frac{1}{2}e^{5x}\sin(2x) - \frac{5}{2}\int e^{5x}\sin(2x)\,dx.
Para organizar, definimos
J=\int e^{5x}\sin(2x)\,dx,
de modo que
I = \frac{1}{2}e^{5x}\sin(2x) - \frac{5}{2}J.

Passo 4

Agora precisamos calcular J=\int e^{5x}\sin(2x)\,dx. Aplicamos integração por partes novamente com a mesma ideia:
u = e^{5x},\qquad dv = \sin(2x)\,dx.
Calcule du e v:
du = 5e^{5x}\,dx,
v = \int \sin(2x)\,dx = -\frac{1}{2}\cos(2x).
Aplique a fórmula:
J = uv - \int v\,du = e^{5x}\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right) - \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)\cdot 5e^{5x}\,dx.
Simplificando os sinais e constantes:
J = -\frac{1}{2}e^{5x}\cos(2x) + \frac{5}{2}\int e^{5x}\cos(2x)\,dx.
Lembrando que \int e^{5x}\cos(2x)\,dx = I, obtemos
J = -\frac{1}{2}e^{5x}\cos(2x) + \frac{5}{2}I.

Passo 5

Volte à expressão obtida para I no Passo 3 e substitua J pela expressão do Passo 4:
I = \frac{1}{2}e^{5x}\sin(2x) - \frac{5}{2}\Biggl(-\frac{1}{2}e^{5x}\cos(2x) + \frac{5}{2}I\Biggr).
Agora faça a distribuição das constantes:
I = \frac{1}{2}e^{5x}\sin(2x) + \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{2}e^{5x}\cos(2x) - \frac{5}{2}\cdot\frac{5}{2}I.
Simplificando os coeficientes numéricos:
I = \frac{1}{2}e^{5x}\sin(2x) + \frac{5}{4}e^{5x}\cos(2x) - \frac{25}{4}I.

Passo 6

Agora isolamos I. Some \frac{25}{4}I em ambos os lados:
I + \frac{25}{4}I = \frac{1}{2}e^{5x}\sin(2x) + \frac{5}{4}e^{5x}\cos(2x).
O lado esquerdo é
\left(1+\frac{25}{4}\right)I = \frac{29}{4}I.
Logo temos a equação
\frac{29}{4}I = e^{5x}\left(\frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{5}{4}\cos(2x)\right).
Dividindo ambos os lados por \dfrac{29}{4} obteríamos a expressão final para I. A forma simplificada e a constante de integração final estão na seção de resposta.

Resposta

\int e^{5x}\cos(2x)\,dx = \frac{e^{5x}}{29}\bigl(2\sin(2x)+5\cos(2x)\bigr) + C

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