Resolva as integrais indefinidas a seguir por meio da Integração por Partes:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é o produto de
com
. Queremos uma primitiva (ou seja, uma antiderivada) dessa função, mais a constante de integração
.
Passo 2
Ferramenta que vamos usar: a fórmula da integração por partes. Ela diz que, para duas funções diferenciáveis
e
,
Explicando: aqui
é uma função que escolhemos para diferenciar (calcular
) e
é uma parte que escolhemos para integrar (calcular
). A ideia é simplificar a integral original trocando-a por outra que seja mais fácil de calcular, ou que permita voltar ao ponto inicial e resolver por álgebra.
Passo 3
Escolha inicial (motivo:
tem derivada proporcional a si mesma, e
é fácil de integrar):
Calcule
e
:
Agora aplique a fórmula:
Simplificando constantes, definimos
como a integral desejada:
então obtemos
Para organizar, definimos
de modo que
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Aplicamos integração por partes novamente com a mesma ideia:
Calcule
e
:
Aplique a fórmula:
Simplificando os sinais e constantes:
Lembrando que
, obtemos
Passo 5
Volte à expressão obtida para
no Passo 3 e substitua
pela expressão do Passo 4:
Agora faça a distribuição das constantes:
Simplificando os coeficientes numéricos:
Passo 6
Agora isolamos
. Some
em ambos os lados:
O lado esquerdo é
Logo temos a equação
Dividindo ambos os lados por
obteríamos a expressão final para
. A forma simplificada e a constante de integração final estão na seção de resposta.