Resolva as integrais por meio do Método da Substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
, então a integral equivale a integrar
.
Não há outras condições; devemos fornecer a primitiva (familia de antiderivadas) da função.
Não há outras condições; devemos fornecer a primitiva (familia de antiderivadas) da função.
Passo 2
Escolhemos uma substituição que torne a integral mais simples. Uma ideia natural é usar a própria exponencial como nova variável:
Explicando:
representa o valor de
para cada
. Essa escolha costuma simplificar expressões que envolvem
.
Passo 3
Agora calculamos o diferencial de
em função de
:
Isolando
obtemos
Como
, podemos escrever
Expliquei cada passo: derivei
em relação a
e substituí
por
.
Passo 4
Substituímos
e
na integral original. A integral era
. Usando
e
temos
Observação:
, então a integral ficou
.
Passo 5
Integramos usando a regra da potência para integrais: se
com
, então
Aqui
. Aplicando a fórmula:
Expliquei a fórmula e mostrei como aplicá-la ao expoente
.
Passo 6
Voltamos à variável original
substituindo
:
Também podemos escrever essa resposta como
pois
.
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a primitiva para conferir se recuperamos o integrando. Seja
. Então
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.
Passo 8
Dica prática para a prova: ao ver
você pode imediatamente reescrever como
e lembrar que a primitiva de
é
(aqui
), dando
. Isso evita passos longos quando estiver com pressa.