Resolva as integrais por meio do Método da Substituição.
\int \frac{d x}{e^{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{d x}{e^{x}}.
Informações dadas:
\displaystyle \frac{1}{e^{x}}=e^{-x}, então a integral equivale a integrar \displaystyle e^{-x}.
Não há outras condições; devemos fornecer a primitiva (familia de antiderivadas) da função.

Passo 2

Escolhemos uma substituição que torne a integral mais simples. Uma ideia natural é usar a própria exponencial como nova variável:
u = e^{x}.
Explicando: \,u representa o valor de e^{x} para cada x. Essa escolha costuma simplificar expressões que envolvem e^{x}.

Passo 3

Agora calculamos o diferencial de \,u em função de x:
du = \frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)\,dx = e^{x}\,dx.
Isolando dx obtemos
dx = \frac{du}{e^{x}}.
Como e^{x}=u, podemos escrever
dx = \frac{du}{u}.
Expliquei cada passo: derivei u em relação a x e substituí e^{x} por u.

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original. A integral era \displaystyle \int \frac{dx}{e^{x}}. Usando e^{x}=u e dx=\frac{du}{u} temos
\int \frac{dx}{e^{x}} = \int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{u} = \int \frac{du}{u^{2}}.
Observação: \displaystyle \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{u}=u^{-2}, então a integral ficou \displaystyle \int u^{-2}\,du.

Passo 5

Integramos usando a regra da potência para integrais: se \displaystyle \int u^{n}\,du com n\neq -1, então
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=-2. Aplicando a fórmula:
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -u^{-1} + C.
Expliquei a fórmula e mostrei como aplicá-la ao expoente -2.

Passo 6

Voltamos à variável original x substituindo u=e^{x}:
-u^{-1} + C = -\frac{1}{u} + C = -\frac{1}{e^{x}} + C.
Também podemos escrever essa resposta como
-e^{-x} + C,
pois \displaystyle \frac{1}{e^{x}}=e^{-x}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil na prova): derivando a primitiva para conferir se recuperamos o integrando. Seja F(x)=-e^{-x}+C. Então
F'(x) = -\frac{d}{dx}\big(e^{-x}\big) = -\big(-e^{-x}\big) = e^{-x} = \frac{1}{e^{x}},
que é exatamente o integrando. Logo a primitiva está correta.

Passo 8

Dica prática para a prova: ao ver \displaystyle \frac{1}{e^{x}} você pode imediatamente reescrever como e^{-x} e lembrar que a primitiva de e^{ax} é \frac{1}{a}e^{ax} (aqui a=-1), dando \frac{1}{-1}e^{-x}=-e^{-x}. Isso evita passos longos quando estiver com pressa.

Resposta

-e^{-x} + C

Exercícios relacionados