Resolva as integrais por meio do Método da Substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações importantes:
- É uma integral indefinida (sem limites).
- A função integranda é
. - A variável de integração é
. - O termo
aparece multiplicando uma função de , o que sugere que uma substituição envolvendo pode ser apropriada.
Passo 2
Conceito do Método da Substituição (explicação didática):
A ideia é usar uma nova variável para simplificar a integral quando a integranda é uma composição de funções. Se escolhermos
A ideia é usar uma nova variável
então a diferencial
é
Se a integral original tem um fator igual (ou proporcional) a
, podemos substituir e transformar a integral em uma em
, que costuma ser mais fácil. Em fórmulas:
Aqui:
é a parte exterior da composição e
é a parte interior. O objetivo é identificar
cuja derivada aparece (ou aparece multiplicada por constante) no integrando.
Passo 3
Escolha da substituição e cálculo de
:
Observando , a função interior natural é
, porque a derivada de
é
multiplicada por a constante
. Então fazemos
Observando
Derivando ambos os lados em relação a
:
Isolando
ou
, obtemos
Passo 4
Substituição na integral:
Agora substituímos e
na integral original:
Agora substituímos
Colocando a constante fora da integral:
Passo 5
Integral em
e antiderivada:
Agora calculamos a integral de . A regra básica de potências diz que
Agora calculamos a integral de
Aplicando com
:
Multiplicando pelo fator
que estava fora:
Passo 6
Volta para a variável
(substituição inversa):
Lembrando que , substituímos de volta:
Lembrando que
Portanto a antiderivada encontrada é
.
Passo 7
Verificação rápida (diferenciação para conferir):
Para ter certeza, derivamos o resultado:
Para ter certeza, derivamos o resultado:
Como
, temos
que é exatamente o integrando original. Verificação OK.