Resolva as integrais por meio do Método da Substituição.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas e relevantes:
- A variável de integração é
. - O integrando é
, ou seja, um produto de por avaliado em . - Queremos uma antiderivada (integral indefinida), o que implica acrescentar uma constante de integração
no final.
Passo 2
Explicando o Método da Substituição (fórmula e ideia): se fizermos uma mudança de variável do tipo
com
diferenciável, então
. A técnica usa isso para transformar
em
que normalmente é mais simples de integrar. Aqui cada símbolo significa:
-
é a variável original; -
é a nova variável definida por ; -
é a derivada de em relação a ; -
é o diferencial correspondente a .
Aplicando ao nosso caso: observamos a composição
. Fazemos a escolha natural
Agora calculamos
:
Isolando
(que aparece no integrando):
Passo 3
Substituímos na integral original: trocando
por
e
por
, obtemos
Passo 4
Agora integramos
. Lembrete importante: a derivada da função
é
. Em símbolos,
Portanto uma antiderivada de
é
. Assim
Passo 5
Voltamos à variável original substituindo
:
Passo 6
Verificação rápida (para você se sentir confiante): derivando o resultado encontramos
que é justamente o integrando original. Beleza — está correto!