Resolva as integrais por meio do Método da Substituição.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
Passo 2
Explicando o Método da Substituição de forma didática e direta: quando na integral aparece uma expressão composta tipo
multiplicada por algo que é proporcional a
, a ideia é fazer
. Isso transforma a integral em uma em relação a
, que normalmente é mais fácil.
Regra usada (fórmula): se fizermos
então
Isso permite reescrever
(ou um fator
) em termos de
. Um caso comum é a potência:
, que integra facilmente pela regra da potência:
Aqui queremos aplicar exatamente essa ideia.
Passo 3
Escolhendo a substituição apropriada: olhando para
, o “interior” natural é
. Então tomo
Agora calculo
. Diferenciando ambos os lados em relação a
,
Isolando
(pois aparece
no integrando):
Passo 4
Substituo na integral original. Primeiro reescrevo a integral para ficar claro o fator
:
Agora substituindo
e
, obtenho
Passo 5
Integro em
usando a regra da potência para integrais:
Multiplicando pelo fator
:
Passo 6
Volto à variável original
usando
:
Passo 7
Verificação rápida (para você confiar no resultado): derivo a antiderivada encontrada e vejo se volto ao integrando.
Derivando pelo Regra da Cadeia:
Derivando
que é exatamente o integrando. Perfeito!