Resolva as integrais por meio do Método da Substituição.
\int x\left(2-x^{2}\right)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x\left(2-x^{2}\right)^{3}\,dx.
Informações dadas:
\text{integrando: }x\left(2-x^{2}\right)^{3},\qquad \text{variável de integração: }x,\qquad \text{é uma integral indefinida (somar constante }C\text{).}áçãé

Passo 2

Explicando o Método da Substituição de forma didática e direta: quando na integral aparece uma expressão composta tipo \big(f(x)\big)^{n} multiplicada por algo que é proporcional a f'(x), a ideia é fazer u=f(x). Isso transforma a integral em uma em relação a u, que normalmente é mais fácil.
Regra usada (fórmula): se fizermos
u = g(x),
então
du = g'(x)\,dx.
Isso permite reescrever dx (ou um fator g'(x)\,dx) em termos de du. Um caso comum é a potência: \int g'(x)\big(g(x)\big)^{n}\,dx = \int u^{n}\,du, que integra facilmente pela regra da potência:
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C \quad (n\neq -1).
Aqui queremos aplicar exatamente essa ideia.

Passo 3

Escolhendo a substituição apropriada: olhando para \left(2-x^{2}\right)^{3}, o “interior” natural é 2-x^{2}. Então tomo
u = 2-x^{2}.
Agora calculo du. Diferenciando ambos os lados em relação a x,
du = \frac{d}{dx}(2-x^{2})\,dx = (-2x)\,dx.
Isolando x\,dx (pois aparece x\,dx no integrando):
x\,dx = -\frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Substituo na integral original. Primeiro reescrevo a integral para ficar claro o fator x\,dx:
\int x\left(2-x^{2}\right)^{3}\,dx = \int \left(2-x^{2}\right)^{3}\,x\,dx.
Agora substituindo \left(2-x^{2}\right)=u e x\,dx = -\tfrac{1}{2}\,du, obtenho
\int \left(2-x^{2}\right)^{3}\,x\,dx = \int u^{3}\left(-\tfrac{1}{2}\,du\right) = -\tfrac{1}{2}\int u^{3}\,du.

Passo 5

Integro em u usando a regra da potência para integrais:
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}+C.
Multiplicando pelo fator -\tfrac{1}{2}:
-\tfrac{1}{2}\int u^{3}\,du = -\tfrac{1}{2}\cdot\frac{u^{4}}{4}+C = -\tfrac{1}{8}u^{4}+C.

Passo 6

Volto à variável original x usando u=2-x^{2}:
-\tfrac{1}{8}u^{4}+C = -\tfrac{1}{8}\big(2-x^{2}\big)^{4}+C.

Passo 7

Verificação rápida (para você confiar no resultado): derivo a antiderivada encontrada e vejo se volto ao integrando.
Derivando -\tfrac{1}{8}\big(2-x^{2}\big)^{4} pelo Regra da Cadeia:
\frac{d}{dx}\left[-\tfrac{1}{8}\big(2-x^{2}\big)^{4}\right] = -\tfrac{1}{8}\cdot 4\big(2-x^{2}\big)^{3}\cdot\frac{d}{dx}(2-x^{2}) = -\tfrac{1}{2}\big(2-x^{2}\big)^{3}\cdot(-2x) = x\big(2-x^{2}\big)^{3},
que é exatamente o integrando. Perfeito!

Resposta

-\dfrac{1}{8}\big(2-x^{2}\big)^{4}+C

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