Resolva as integrais. ( 5 pontos)
\int a^{n x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int a^{n x}\,dx,
onde a e n são constantes. Vou listar o que temos de informação e o que é pedido:
  • Dado: a função integranda é a^{n x}.
  • As constantes são a e n (não foi explicitado, então vou assumir o caso real mais comum).
  • Pedido: encontrar uma antiderivada (a integral indefinida) em termos de x, incluindo a constante de integração C.

Passo 2

Observação sobre domínio e casos especiais (importante para evitar divisão por zero depois):
  • Para que a^{n x} seja definida como função real para todo x normalmente assume-se a>0. Se a\le 0 a expressão pode envolver números complexos ou ficar indefinida para alguns x.
  • O caso em que n\ln a=0 precisa ser tratado separadamente porque daí aparece divisão por zero na fórmula padrão. Isso acontece quando a=1 (pois \ln 1=0) ou quando n=0 (pois então a^{n x}=a^0=1). Vou resolver o caso geral primeiro e depois explico estes casos especiais.

Passo 3

Transformação útil: escrever a^{n x} em termos da exponencial natural. Há uma propriedade básica das potências e do logaritmo natural:
a^{n x} = e^{(\,n x\,)\ln a}.
Explicação didática: a função exponencial e^{y} e o logaritmo natural \ln satisfazem a^{b}=e^{b\ln a}. Aqui b=n x. Isso é útil porque sabemos integrar facilmente exponenciais do tipo e^{k x}.

Passo 4

Lembrar a fórmula básica de integração para exponencial com constante no expoente:
\int e^{k x}\,dx = \frac{1}{k}e^{k x}+C,
onde k é constante. Justificativa curta: a derivada de e^{k x} é k e^{k x} (regra da cadeia), então a primitive deve trazer um fator \tfrac{1}{k} para cancelar esse k.

Passo 5

Aplicar a fórmula ao nosso caso. Pelo passo 3 temos a^{n x}=e^{n x\ln a}. Identificamos k = n\ln a e aplicamos a fórmula do passo 4:
\int a^{n x}\,dx = \int e^{n x\ln a}\,dx = \frac{1}{n\ln a}\,e^{n x\ln a}+C.
Agora reescrevemos em termos de a^{n x} usando de novo e^{n x\ln a}=a^{n x}:
\int a^{n x}\,dx = \frac{a^{n x}}{n\ln a}+C,
válido quando n\ln a\neq 0 (ou seja, a>0 e a\neq1 e n\neq0).

Passo 6

Tratar os casos especiais:
  • Se a=1 então a^{n x}=1^{n x}=1 e
\int 1\,dx = x + C.
  • Se n=0 então a^{n x}=a^{0}=1 e novamente
\int 1\,dx = x + C.
Observação: ambos os casos são cobertos pela condição n\ln a=0; a fórmula geral com denominador falharia aí, por isso o resultado reduzido é x+C.

Passo 7

Alguns exemplos rápidos para treinar e ver a aplicação:
  • Para \int 2^{3x}\,dx, aqui a=2, n=3. Pela fórmula:
\int 2^{3x}\,dx = \frac{2^{3x}}{3\ln 2}+C.
  • Para \int 5^{x}\,dx, aqui a=5, n=1. Pela fórmula:
\int 5^{x}\,dx = \frac{5^{x}}{\ln 5}+C.
  • Se a=e (a base natural), então \ln a=1 e a fórmula dá a clássica:
\int e^{n x}\,dx = \frac{e^{n x}}{n}+C.

Passo 8

Dicas para a prova (estilo amigo, rápido e útil):
  • Primeiro reconheça a forma a^{(\text{algo em }x)}. Se estiver na forma a^{k x} use direto a fórmula com k\ln a.
  • Se esquecer da fórmula, faça a substituição explícita u=n x\ln a (substituição simples): du = n\ln a\,dx, então dx = \tfrac{du}{n\ln a} e integre e^{u}.
  • Sempre verifique se n\ln a\neq0 para usar a versão com divisão; caso contrário, lembre que a função é constante 1 e a integral é x+C.
  • Fique calmo: reconhecer a transformação a^{\cdot}=e^{(\cdot)\ln a} resolve rapidinho.

Resposta

\displaystyle \int a^{n x}\,dx = \frac{a^{n x}}{n\ln a}+C (para a>0 e n\ln a\neq0).
\displaystyle \int a^{n x}\,dx = x + C quando n\ln a=0 (por exemplo a=1 ou n=0).