Resolva as integrais. ( 5 pontos)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
onde
e
são constantes. Vou listar o que temos de informação e o que é pedido:
- Dado: a função integranda é
. - As constantes são
e (não foi explicitado, então vou assumir o caso real mais comum). - Pedido: encontrar uma antiderivada (a integral indefinida) em termos de
, incluindo a constante de integração .
Passo 2
Observação sobre domínio e casos especiais (importante para evitar divisão por zero depois):
- Para que
seja definida como função real para todo normalmente assume-se . Se a expressão pode envolver números complexos ou ficar indefinida para alguns . - O caso em que
precisa ser tratado separadamente porque daí aparece divisão por zero na fórmula padrão. Isso acontece quando (pois ) ou quando (pois então ). Vou resolver o caso geral primeiro e depois explico estes casos especiais.
Passo 3
Transformação útil: escrever
em termos da exponencial natural. Há uma propriedade básica das potências e do logaritmo natural:
Explicação didática: a função exponencial
e o logaritmo natural
satisfazem
. Aqui
. Isso é útil porque sabemos integrar facilmente exponenciais do tipo
.
Passo 4
Lembrar a fórmula básica de integração para exponencial com constante no expoente:
onde
é constante. Justificativa curta: a derivada de
é
(regra da cadeia), então a primitive deve trazer um fator
para cancelar esse
.
Passo 5
Aplicar a fórmula ao nosso caso. Pelo passo 3 temos
. Identificamos
e aplicamos a fórmula do passo 4:
Agora reescrevemos em termos de
usando de novo
:
válido quando
(ou seja,
e
e
).
Passo 6
Tratar os casos especiais:
- Se
então e
- Se
então e novamente
Observação: ambos os casos são cobertos pela condição
; a fórmula geral com denominador falharia aí, por isso o resultado reduzido é
.
Passo 7
Alguns exemplos rápidos para treinar e ver a aplicação:
- Para
, aqui , . Pela fórmula:
- Para
, aqui , . Pela fórmula:
- Se
(a base natural), então e a fórmula dá a clássica:
Passo 8
Dicas para a prova (estilo amigo, rápido e útil):
- Primeiro reconheça a forma
. Se estiver na forma use direto a fórmula com . - Se esquecer da fórmula, faça a substituição explícita
(substituição simples): , então e integre . - Sempre verifique se
para usar a versão com divisão; caso contrário, lembre que a função é constante 1 e a integral é . - Fique calmo: reconhecer a transformação
resolve rapidinho.