Resolva os itens abaixo.
ii) Use o Teste da Razão para determinar se a série converge: sumk=1^infty k^26^k.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita: sumk=1^infty k^26^k e precisamos usar o Teste da Razão para verificar se essa série converge. Para isso, vamos precisar calcular a razão entre termos consecutivos da série e analisar o limite dessa razão quando tende ao infinito.

Passo 2

O Teste da Razão funciona assim: calculamos o limite da razão entre o termo seguinte e o termo atual da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não nos dá uma resposta definitiva.
Vamos calcular essa razão:
L = limk to infty | ak+1ak |
Onde ak+1ak = (k+1)^26^k+1 cdot 6^kk^2 = (k+1)^26 cdot k^2 = (k+1)^2k^2 cdot 16 .
Substituindo:

Passo 3

Agora, vamos simplificar e calcular o limite:
(k+1)^2k^2 = (1 + 1k)^2 = 1 + 2k + 1k^2
Quando limk to infty (k+1)^2k^2 = 1 tende ao infinito, os termos L = limk to infty (k+1)^2k^2 cdot 16 = 1 cdot 16 = 16 e vão para 0, então:
Portanto:

Passo 4

Como , pelo Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série sumk=1^infty k^26^k converge pelo Teste da Razão.

Exercícios relacionados