Resolva o limite usando fatoração (diferença de quadrados):
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-1}{x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}-1}{x+1}.
Informações que o enunciado dá:
  • A expressão a ser analisada é uma fração com numerador x^{2}-1 e denominador x+1.
  • Se fizermos a substituição direta x=-1 obtemos um caso indeterminado:
\frac{(-1)^{2}-1}{-1+1}=\frac{1-1}{0}=\frac{0}{0},
ou seja, a forma é \tfrac{0}{0}, o que indica que devemos manipular a expressão para avaliar o limite.

Passo 2

Explicar uma técnica útil: fatoração da diferença de quadrados.
A identidade algébrica básica é:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aqui, com a=x e b=1, obtemos a fatoração do numerador:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).

Passo 3

Substituir a fatoração na expressão do limite:
\frac{x^{2}-1}{x+1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}.
Agora observar que, para x\neq-1, o fator (x+1) no numerador e no denominador pode ser cancelado. Depois do cancelamento (válido para x\neq-1) obtemos a função equivalente:
\frac{(x-1)(x+1)}{x+1}=x-1,\qquad \text{para }x\neq-1.

Passo 4

Justificar a troca para calcular o limite: como a expressão original e a função x-1 coincidem em todos os pontos próximos de -1 (exceto exatamente em -1), o limite quando x tende a -1 da expressão original é igual ao limite de x-1 quando x\to-1. A função x-1 é contínua em -1, portanto podemos simplesmente substituir:
\lim_{x\to-1}(x-1)=(-1)-1=-2.

Passo 5

Interpretação final curta e incentivo: a indeterminação \tfrac{0}{0} foi removida por fatoração e cancelamento, transformando o problema em avaliar uma função contínua no ponto. Ótimo trabalho — essa técnica é muito útil em prova.

Resposta

-2