Resolva o limite usando fatoração (diferença de quadrados):
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite:
Informações que o enunciado dá:
- A expressão a ser analisada é uma fração com numerador
e denominador . - Se fizermos a substituição direta
obtemos um caso indeterminado:
ou seja, a forma é
, o que indica que devemos manipular a expressão para avaliar o limite.
Passo 2
Explicar uma técnica útil: fatoração da diferença de quadrados.
A identidade algébrica básica é:
A identidade algébrica básica é:
Aqui, com
e
, obtemos a fatoração do numerador:
Passo 3
Substituir a fatoração na expressão do limite:
Agora observar que, para
, o fator
no numerador e no denominador pode ser cancelado. Depois do cancelamento (válido para
) obtemos a função equivalente:
Passo 4
Justificar a troca para calcular o limite: como a expressão original e a função
coincidem em todos os pontos próximos de
(exceto exatamente em
), o limite quando
tende a
da expressão original é igual ao limite de
quando
. A função
é contínua em
, portanto podemos simplesmente substituir:
Passo 5
Interpretação final curta e incentivo: a indeterminação
foi removida por fatoração e cancelamento, transformando o problema em avaliar uma função contínua no ponto. Ótimo trabalho — essa técnica é muito útil em prova.