Resolva os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a razão entre o polinômio
e a raiz quadrada . - O limite é quando
tende a (valores muito negativos de ).
O que se quer: o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeira ideia didática: entender o comportamento de
quando
é grande. Há uma identidade útil que vale para todo
:
Explicando devagar: a raiz quadrada devolve sempre um número não negativo, por isso
e não simplesmente
. Isso é crucial quando
é negativo:
nesse caso. Vamos usar isso para aproximar a raiz quando
é grande em módulo.
Passo 3
Fatoramos
dentro da raiz para deixar a expressão em termos de
, que tende a zero quando
:
Como
(para
), obtemos
Passo 4
Agora substituímos isso na fração. Temos
Como estamos tomando
, os
considerados são negativos, logo
. Substituindo
(válido para
) dá
Agora separamos a fração para simplificar:
Passo 5
Simplificamos
:
Portanto a expressão vira
Agora aplicamos regras básicas de limites: quando
temos
e
. Assim
Multiplicando os limites (produto de limites existe aqui), obtemos o limite da expressão:
Passo 6
Comentário intuitivo rápido para fixar: para grandes
a raiz se comporta como
. Quando
é muito negativo,
, então a razão principal é
. Os pequenos termos
no numerador e
dentro da raiz só fazem correções que desaparecem no limite.