Resolva os limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty}\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}.
Informações dadas:
  • A expressão é a razão entre o polinômio x-1 e a raiz quadrada \sqrt{x^{2}-1}.
  • O limite é quando x tende a -\infty (valores muito negativos de x).
    O que se quer: o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeira ideia didática: entender o comportamento de \sqrt{x^{2}-1} quando |x| é grande. Há uma identidade útil que vale para todo x:
\sqrt{x^{2}} = |x|.
Explicando devagar: a raiz quadrada devolve sempre um número não negativo, por isso \sqrt{x^{2}}=|x| e não simplesmente x. Isso é crucial quando x é negativo: |x|=-x nesse caso. Vamos usar isso para aproximar a raiz quando x é grande em módulo.

Passo 3

Fatoramos x^{2} dentro da raiz para deixar a expressão em termos de 1/x, que tende a zero quando x\to -\infty:
\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{x^{2}\left(1-\frac{1}{x^{2}}\right)}.
Como \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b} (para a\ge0), obtemos
\sqrt{x^{2}-1}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}.

Passo 4

Agora substituímos isso na fração. Temos
\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{x-1}{|x|\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}.
Como estamos tomando x\to -\infty, os x considerados são negativos, logo |x|=-x. Substituindo |x|=-x (válido para x<0) dá
\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\frac{x-1}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}.
Agora separamos a fração para simplificar:
\frac{x-1}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}=\left(\frac{x-1}{-x}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}.

Passo 5

Simplificamos \dfrac{x-1}{-x}:
\frac{x-1}{-x}=-\frac{x-1}{x}=-\left(1-\frac{1}{x}\right)=-1+\frac{1}{x}.
Portanto a expressão vira
\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}}=\left(-1+\frac{1}{x}\right)\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}}.
Agora aplicamos regras básicas de limites: quando x\to -\infty temos \dfrac{1}{x}\to 0 e \dfrac{1}{x^{2}}\to 0. Assim
-1+\frac{1}{x}\longrightarrow -1, \qquad \sqrt{1-\frac{1}{x^{2}}}\longrightarrow \sqrt{1}=1.
Multiplicando os limites (produto de limites existe aqui), obtemos o limite da expressão:
\lim_{x\to -\infty}\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-1}} = (-1)\cdot\frac{1}{1} = -1.

Passo 6

Comentário intuitivo rápido para fixar: para grandes |x| a raiz se comporta como |x|. Quando x é muito negativo, |x|=-x, então a razão principal é \dfrac{x}{-x}=-1. Os pequenos termos -1 no numerador e -1 dentro da raiz só fazem correções que desaparecem no limite.

Resposta

-1