Resolva os limites com as propriedades:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{3 x-3}{x^{2}-2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 1}\frac{3x-3}{x^{2}-2}.
Informações dadas:
  • A função que aparece no limite é \dfrac{3x-3}{x^{2}-2}.
  • O ponto de aproximação é x\to 1.
    O objetivo é obter o valor numérico desse limite quando x se aproxima de 1.

Passo 2

Teste de substituição direta: calcular o valor do numerador e do denominador em x=1.
\text{numerador: }3\cdot 1-3=0, \qquad \text{denominador: }1^{2}-2=-1.
Portanto, ao substituir x=1 obtemos a forma \dfrac{0}{-1}, que é um quociente bem definido (denominador diferente de zero).

Passo 3

Teoria necessária (regra de continuidade/limite do quociente): se \lim_{x\to a} f(x)=A e \lim_{x\to a} g(x)=B com B\neq 0, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}.
Interpretação informal: se as duas funções têm limites finitos e o limite do denominador não é zero, pode-se calcular o limite do quociente apenas dividindo os limites. Isso permite usar substituição direta quando não aparece uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0} ou \tfrac{\infty}{\infty}.

Passo 4

Aplicando a regra ao nosso caso:
  • \lim_{x\to 1}(3x-3)=3\cdot 1-3=0.
  • \lim_{x\to 1}(x^{2}-2)=1^{2}-2=-1, que é diferente de zero.
    Como o limite do denominador é diferente de zero, vale a regra do quociente e o limite da razão é o quociente dos limites.

Passo 5

Calcule o quociente dos limites:
\lim_{x\to 1}\frac{3x-3}{x^{2}-2}=\frac{0}{-1}=0.

Resposta

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