Resolva, em \mathbb{R}, as equações literais do 2^{\circ}. grau:
a b x^{2}-(a+b) x+1=0(a \cdot b \neq 0)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, no conjunto dos números reais, a equação literal de segundo grau
ab\,x^{2}-(a+b)\,x+1=0,
onde a e b são parâmetros reais não nulos a\cdot b\neq0. Vamos usar a fórmula de Bhaskara (fórmula geral) para equações do tipo
A\,x^{2}+B\,x+C=0
e calcular o discriminante antes de extrair as raízes.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral A\,x^{2}+B\,x+C=0:
A = ab,
B = -(a+b),
C = 1.
A fórmula do discriminante é \Delta = B^{2}-4AC e a fórmula de Bhaskara para as raízes é
x = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}.

Passo 3

Calculamos o discriminante:
\Delta = B^{2}-4AC = \bigl(-(a+b)\bigr)^{2}-4\,(ab)\,(1)
\Delta = (a+b)^{2}-4ab = a^{2}+2ab+b^{2}-4ab = a^{2}-2ab+b^{2} = (a-b)^{2}.

Passo 4

Aplicamos a fórmula de Bhaskara, substituindo B, A e \sqrt{\Delta}:
x = \frac{-\bigl[-(a+b)\bigr]\pm\sqrt{(a-b)^{2}}}{2\,(ab)} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{(a+b)\pm|a-b|}{2ab}.

Passo 5

Para determinar os dois valores de x\), analisamos \(|a-b|\): **-** Se \(a\ge b\), então \(|a-b|=a-b\) e \[x = \frac{(a+b)\pm(a-b)}{2ab} \;\Longrightarrow\; \begin{cases} x_{1} = \dfrac{(a+b)+(a-b)}{2ab} = \dfrac{2a}{2ab} = \dfrac{1}{b},\\[6pt] x_{2} = \dfrac{(a+b)-(a-b)}{2ab} = \dfrac{2b}{2ab} = \dfrac{1}{a}. \end{cases}
- Se a<b\], então \(|a-b|=b-a e o cálculo análogo leva aos mesmos valores, apenas trocando a ordem dos resultados.
No caso a=b, temos \Delta=0 e a raiz dupla é
x = \frac{2a}{2a^{2}} = \frac{1}{a},
que coincide com \tfrac{1}{b}.
Portanto, em todos os casos as soluções reais são
x = \frac{1}{a} \quad\text{e}\quad x = \frac{1}{b}.]

Resposta

As raízes da equação são
x = \frac{1}{a} \quad\text{e}\quad x = \frac{1}{b}.

Exercícios relacionados