Resolva, em \mathbb{R}, as seguintes equações do 2^{\circ}. grau:
(2 x+1)^{2}-5(2 x+1)+4=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação de 2.º grau
(2x+1)^2 - 5(2x+1) + 4 = 0.
Vamos usar a técnica de substituição, tratando 2x+1 como uma nova variável.

Passo 2

Seja
t = 2x + 1.
Substituindo na equação original, ela fica
t^2 - 5t + 4 = 0.

Passo 3

Para resolver \displaystyle t^2 - 5t + 4 = 0, calculamos o discriminante
\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9.
Como \Delta > 0, há duas raízes em t:
t = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}.
Isso dá
t_1 = \frac{5 + 3}{2} = 4, \quad t_2 = \frac{5 - 3}{2} = 1.

Passo 4

Volta-se agora para x nas duas equações:
2x + 1 = 4 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2},
2x + 1 = 1 \implies 2x = 0 \implies x = 0.

Resposta

As soluções em \mathbb{R} são
x = 0 \quad\text{e}\quad x = \frac{3}{2}.

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