Resolva, em \mathbb{R}, os sistemas de inequações:
\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x-5}{1-x} \leqslant-2 \\\ \frac{x^{2}+x+3}{x+1}>x\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}\), o sistema de inequações \[\begin{cases} \displaystyle \frac{2x-5}{1-x} \le -2,\\[6pt] \displaystyle \frac{x^2+x+3}{x+1} > x. \end{cases}
O conteúdo principal aqui é resolução de inequações racionais, que envolve:
– determinar o domínio (pontos em que denominador (\neq 0]),
– passar tudo para um único quociente,
– estudar o sinal de numerador e denominador.]

Passo 2

Resolvendo a primeira inequação
\frac{2x-5}{1-x} \le -2,
o domínio exige 1-x\neq0, ou seja x\neq1.
Passamos tudo para um único quociente:
\frac{2x-5}{1-x} + 2 \le 0 \;\Longrightarrow\; \frac{2x-5 + 2(1-x)}{1-x} \le 0 \;\Longrightarrow\; \frac{-3}{1-x} \le 0.
Como -3 é constante e negativo, o quociente fica \le0 exatamente quando o denominador for positivo:
1 - x > 0 \;\Longrightarrow\; x < 1.
Logo a solução da primeira inequação é
S_1 = (-\infty,\,1).

Passo 3

Resolvendo a segunda inequação
\frac{x^2+x+3}{x+1} > x,
o domínio exige x+1\neq0, ou seja x\neq -1.
Passamos tudo para um único quociente:
\frac{x^2+x+3}{x+1} - x > 0 \;\Longrightarrow\; \frac{x^2+x+3 - x(x+1)}{x+1} > 0 \;\Longrightarrow\; \frac{3}{x+1} > 0.
Agora 3>0, então o quociente é positivo exatamente quando o denominador for positivo:
x + 1 > 0 \;\Longrightarrow\; x > -1.
Logo a solução da segunda inequação é
S_2 = (-1,\,\infty).

Passo 4

O sistema pede valores de x que pertençam simultaneamente a S_1 e a S_2. Assim:
S_1 \cap S_2 = (-\infty,1)\;\cap\;(-1,\infty) = (-1,1),
lembrando de excluir -1 e 1 pois são pontos que anulariam algum denominador.

Resposta

(-1,\,1).

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