Resolva, em \mathbb{R}, os sistemas de inequações:
\left\{\begin{array}{l}3-2 x \leqslant 1 \\\\ 3 x-1 \leqslant 5\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução, em \mathbb{R}, do sistema de duas inequações lineares simultâneas. O conteúdo envolve métodos básicos para resolver inequações e depois intersectar os conjuntos-solução.

Passo 2

Vamos resolver a primeira inequação
3 - 2x \leqslant 1.
Primeiro subtraímos 3 de ambos os lados:
-2x \leqslant 1 - 3 = -2.
Em seguida dividimos por -2, lembrando que, ao dividir por número negativo, o sinal da desigualdade inverte:
x \geqslant \frac{-2}{-2} = 1.
Logo o conjunto-solução da primeira inequação é \{x\in\mathbb{R}\mid x\geqslant 1\}.

Passo 3

Agora a segunda inequação:
3x - 1 \leqslant 5.
Somamos 1 a ambos os lados:
3x \leqslant 5 + 1 = 6.
Depois dividimos por 3 (positivo, então o sentido não muda):
x \leqslant \frac{6}{3} = 2.
Portanto o conjunto-solução da segunda inequação é \{x\in\mathbb{R}\mid x\leqslant 2\}.

Passo 4

Para satisfazer o sistema simultaneamente, precisamos da interseção dos dois intervalos:
\{x\mid x\geqslant 1\}\\ \cap\\ \{x\mid x\leqslant 2\} =\{x\mid 1\leqslant x\leqslant 2\}.

Resposta

\displaystyle [1,2]

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