Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\frac{x+2}{x}+\frac{x-1}{(x-2)}-\frac{x^{2}-2}{x(x-2)}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\frac{x+2}{x} \;+\;\frac{x-1}{x-2}\;-\;\frac{x^{2}-2}{x(x-2)}=0.
Trata-se de uma equação fracionária. Primeiro identificamos o domínio: devemos ter x\neq0 e x\neq2, pois senão algum denominador zera.

Passo 2

Vamos somar as frações pelo denominador comum x(x-2). Escrevemos cada termo sobre esse denominador:
\frac{x+2}{x} = \frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)}, \quad \frac{x-1}{x-2} = \frac{x(x-1)}{x(x-2)}, \quad \frac{x^{2}-2}{x(x-2)} = \frac{x^{2}-2}{x(x-2)}.
A soma fica
\frac{(x+2)(x-2) + x(x-1) - (x^{2}-2)}{x(x-2)} = 0.

Passo 3

Agora calculamos o numerador:
(x+2)(x-2) = x^2 - 4,
portanto
(x+2)(x-2) + x(x-1) - (x^{2}-2) = (x^2-4) + (x^2 - x) - x^2 + 2 = x^2 - x - 2.
Note que
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1).

Passo 4

A equação original vira
\frac{(x-2)(x+1)}{x(x-2)} = 0.
Uma fração só é zero quando o numerador é zero e o denominador é não-zero. Do numerador (x-2)(x+1)=0 obtemos as raízes x=2 ou x=-1. Porém devemos excluir x=2 (e também x=0) do domínio.

Resposta

A única solução em \mathbb{R} é
x = -1.

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