Resolva as operações abaixo. Indique todos os passos usados na solução. Dê o resultado na forma polar ( \mathrm{z}= |\mathrm{z}| \angle \theta) e na forma retangular (\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{jb}).
z=\left(100 \angle 0^{\circ}\right) /\left(25 \angle 30^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\mathrm{z}=\frac{100\angle 0^\circ}{25\angle 30^\circ}
em duas formas:
– forma polar \mathrm{z}=|\mathrm{z}|\angle\theta
– forma retangular \mathrm{z}=a+\mathrm{j}b
O conteúdo aqui é divisão de números complexos em forma polar e conversão de polar para retangular usando \cos e \sin.

Passo 2

Para dividir dois números complexos em forma polar, basta dividir as magnitudes e subtrair os ângulos:
\frac{r_1\angle \theta_1}{r_2\angle \theta_2} = \frac{r_1}{r_2}\;\Bigl\angle\;(\theta_1 - \theta_2).

Passo 3

Aplicando ao nosso caso:
r_1 = 100,\quad \theta_1 = 0^\circ,\quad r_2 = 25,\quad \theta_2 = 30^\circ,
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|\mathrm{z}| = \frac{100}{25} = 4, \qquad \theta = 0^\circ - 30^\circ = -30^\circ.
Portanto, em forma polar,
\mathrm{z} = 4\angle (-30^\circ).

Passo 4

Para passar à forma retangular usamos
\mathrm{z} = |\mathrm{z}|\bigl(\cos\theta + \mathrm{j}\sin\theta\bigr).
Como \theta = -30^\circ, temos
\cos(-30^\circ)=\frac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \sin(-30^\circ)=-\frac{1}{2}.
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\mathrm{z} = 4\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2} + \mathrm{j}\bigl(-\tfrac12\bigr)\Bigr) = 4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \;-\; 4\cdot\frac{1}{2}\,\mathrm{j} = 2\sqrt{3}\;-\;2\,\mathrm{j}.

Resposta

Polar:
\mathrm{z} = 4\angle(-30^\circ)
Retangular:
\mathrm{z} = 2\sqrt{3} - 2\,\mathrm{j}

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