Resolva o problema de valor inicial.
c) y^{\prime}=y^{2}, \t y(0)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial \displaystyle y' = y^2, com condição \displaystyle y(0)=1.
O conteúdo envolve equações diferenciais de primeira ordem e vamos aplicar separação de variáveis para resolver.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
\frac{dy}{dt} = y^2
como
\frac{dy}{y^2} = dt.
Agora integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y^2} = \int dt.

Passo 3

Calcule as integrais. Do lado esquerdo,
\int y^{-2}\,dy = -\,\frac{1}{y},
enquanto do lado direito
\int dt = t + C,
onde C é constante de integração. Assim obtemos
-\,\frac{1}{y} = t + C.

Passo 4

Use a condição inicial \,y(0)=1 para determinar C. Aplicando em -1/y = t + C com t=0 e y=1, vem
-1 = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -1.
Logo a relação é
-\,\frac{1}{y} = t - 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y} = 1 - t.

Passo 5

Inverta para expressar y em função de t:
y(t) = \frac{1}{1 - t}.

Resposta

y(t) = \frac{1}{1 - t}.

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