Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
O que a questão pede:
- Encontrar a solução explícita
que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial. - Determinar o maior intervalo
no qual essa solução está definida.
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui identificamos
e
. Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Explico o que é isso: para uma equação da forma
definimos o fator integrante
pois multiplicando a equação por
a esquerda passa a ser a derivada do produto
:
No nosso caso,
, então vamos calcular
.
Passo 3
Calcule o fator integrante:
Multiplicando a equação original por
obtemos
Pela propriedade do fator integrante, a esquerda é a derivada do produto:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
A integral da esquerda dá
. Precisamos calcular a integral à direita
. Vou fazer por partes.
Seja
e
. Então
e
. Pela fórmula de integração por partes
:
Simplificando:
E
, então
Passo 5
Igualando as integrais:
onde
é a constante de integração. Dividindo por
(que nunca é zero) obtemos a solução geral:
Passo 6
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na solução:
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas bom para garantir confiança): calcule
.
Calcule
:
que coincide com
. Tudo bate.
Passo 8
Determinar o maior intervalo
onde a solução está definida. Observação importante: a expressão encontrada para
,
é uma combinação de funções polinomiais e exponenciais, todas definidas para todo
. Além disso, a equação diferencial tem o lado direito
que é contínuo para todo
, então pela existência e unicidade de soluções a solução inicial existe e é única para todo
. Portanto o maior intervalo é a reta toda.