Resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
\frac{d y}{d x}=2 x-3 y, \quad y(0)=\frac{1}{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
\frac{dy}{dx}=2x-3y,\qquad y(0)=\frac{1}{3}.
O que a questão pede:
  1. Encontrar a solução explícita y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial.
  2. Determinar o maior intervalo I no qual essa solução está definida.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
\frac{dy}{dx}+3y=2x.
Aqui identificamos p(x)=3 e q(x)=2x. Vou usar o método do fator integrante (integrating factor). Explico o que é isso: para uma equação da forma
\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x),
definimos o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx},
pois multiplicando a equação por \mu(x) a esquerda passa a ser a derivada do produto \mu(x)y:
\big(\mu(x)y\big)'=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)y=\mu(x)\Big(\frac{dy}{dx}+p(x)y\Big).
No nosso caso, p(x)=3, então vamos calcular \mu(x).

Passo 3

Calcule o fator integrante:
\mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
Multiplicando a equação original por e^{3x} obtemos
e^{3x}\frac{dy}{dx}+3e^{3x}y=2x e^{3x}.
Pela propriedade do fator integrante, a esquerda é a derivada do produto:
\big(e^{3x}y\big)'=2x e^{3x}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \big(e^{3x}y\big)' \,dx = \int 2x e^{3x}\,dx.
A integral da esquerda dá e^{3x}y. Precisamos calcular a integral à direita \int 2x e^{3x}\,dx. Vou fazer por partes.
Seja u=2x e dv=e^{3x}dx. Então du=2dx e v=\frac{1}{3}e^{3x}. Pela fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int 2x e^{3x}\,dx = 2x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} - \int \frac{1}{3}e^{3x}\cdot 2\,dx.
Simplificando:
\int 2x e^{3x}\,dx = \frac{2}{3}x e^{3x} - \frac{2}{3}\int e^{3x}\,dx.
E \int e^{3x}\,dx=\frac{1}{3}e^{3x}, então
\int 2x e^{3x}\,dx = \frac{2}{3}x e^{3x} - \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}e^{3x} + C = e^{3x}\Big(\frac{2}{3}x - \frac{2}{9}\Big)+C.

Passo 5

Igualando as integrais:
e^{3x}y = e^{3x}\Big(\frac{2}{3}x - \frac{2}{9}\Big) + C,
onde C é a constante de integração. Dividindo por e^{3x} (que nunca é zero) obtemos a solução geral:
y(x)=\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + C e^{-3x}.

Passo 6

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=\frac{1}{3}. Substituindo x=0 na solução:
\frac{1}{3}=y(0)=\frac{2}{3}\cdot 0 - \frac{2}{9} + C e^{0} = -\frac{2}{9}+C.
Logo
C=\frac{1}{3}+\frac{2}{9}=\frac{3}{9}+\frac{2}{9}=\frac{5}{9}.
Portanto a solução particular é
y(x)=\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + \frac{5}{9}e^{-3x}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas bom para garantir confiança): calcule y'(x).
y'(x)=\frac{2}{3} - \frac{5}{9}\cdot 3 e^{-3x}=\frac{2}{3}-\frac{5}{3}e^{-3x}.
Calcule 2x-3y:
2x-3y=2x-3\Big(\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + \frac{5}{9}e^{-3x}\Big)=2x-2x+\frac{2}{3}-\frac{5}{3}e^{-3x}=\frac{2}{3}-\frac{5}{3}e^{-3x},
que coincide com y'(x). Tudo bate.

Passo 8

Determinar o maior intervalo I onde a solução está definida. Observação importante: a expressão encontrada para y(x),
y(x)=\frac{2}{3}x - \frac{2}{9} + \frac{5}{9}e^{-3x},
é uma combinação de funções polinomiais e exponenciais, todas definidas para todo x\in\mathbb{R}. Além disso, a equação diferencial tem o lado direito 2x-3y que é contínuo para todo (x,y)\in\mathbb{R}^2, então pela existência e unicidade de soluções a solução inicial existe e é única para todo x\in\mathbb{R}. Portanto o maior intervalo é a reta toda.

Resposta

y(x)=\dfrac{2}{3}x-\dfrac{2}{9}+\dfrac{5}{9}e^{-3x}\n
I=(-\infty,\infty)