Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação de valor inicial, que envolve derivadas parciais em relação ao tempo
e à posição
. A equação dada é:
E a condição inicial fornecida é
para todo
no conjunto dos números reais
.
Para resolver esse tipo de problema, vamos utilizar o método das características, uma técnica poderosa para resolver equações diferenciais parciais de primeira ordem.
Passo 2
O método das características transforma a equação diferencial parcial em equações diferenciais ordinárias ao seguir caminhos específicos chamados “características”. Esses caminhos são determinadas por um sistema de equações que relacionam as derivadas de
em relação a
e
.
Vamos começar identificando as equações características a partir da nossa equação original:
As equações características são:
Passo 3
Vamos resolver a primeira equação característica para
:
Integrando ambos os lados em relação a
, obtemos:
Aqui,
é a posição inicial no tempo
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a segunda equação característica para
:
Integramos ambos os lados em relação a
:
Onde
é a condição inicial, que sabemos que é
.
Passo 5
Substituímos
e lembramos que
(obtido da expressão para
). Assim, a solução geral fica:
Isso nos dá a expressão final para
em termos das funções
e
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: