Resolva o problema de valor inicial vetorial para
por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração: 48.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial vetorial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem envolvendo vetores e algumas condições iniciais. Vamos precisar usar integração para achar a função vetorial
. Vou te guiar passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
. Isso significa que a segunda derivada de
em relação a
é igual a
na direção de
e
na direção de
. Para achar
, precisamos integrar essa expressão duas vezes.
Passo 3
Vamos começar integrando
para encontrar a primeira derivada,
. A integral de
em relação a
é
, e a integral de
é
. Além disso, adicionamos uma constante de integração para cada componente:
Passo 4
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante de integração
. Substituindo
na expressão de
:
Então, a primeira derivada fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar
para encontrar a função
. A integral de
é
, e a integral de
é
. Também adicionamos outra constante de integração:
Passo 6
Usamos agora a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
:
Então, a função
final fica: