Resolva o problema de valor inicial vetorial para y(t) por integração, usando as condições iniciais para determinar as constantes de integração: 48. y''(t) = 12 t^2 i - 2 t j, y(0) = 2 i - 4 j, y'(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial vetorial juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem envolvendo vetores e algumas condições iniciais. Vamos precisar usar integração para achar a função vetorial . Vou te guiar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação dada: . Isso significa que a segunda derivada de em relação a é igual a na direção de e na direção de . Para achar , precisamos integrar essa expressão duas vezes.

Passo 3

Vamos começar integrando para encontrar a primeira derivada, . A integral de em relação a é , e a integral de é . Além disso, adicionamos uma constante de integração para cada componente:

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante de integração . Substituindo na expressão de :
Então, a primeira derivada fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar para encontrar a função . A integral de é , e a integral de é . Também adicionamos outra constante de integração:

Passo 6

Usamos agora a condição inicial para encontrar . Substituindo :
Então, a função final fica:

Resposta

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