Resolva o problema de valor inicial.
e) y^{\prime}=\frac{3 x^{2}+4 x+2}{2 y-2}, \t y(0)=-1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = \frac{3x^2 + 4x + 2}{2y - 2}, \quad y(0) = -1.
É uma equação diferencial de primeira ordem do tipo separável. Vamos separar variáveis e integrar para encontrar a solução geral e então ajustar a constante usando y(0)=-1.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (2y - 2)\,dx para separar variáveis:
2(y-1)\,\frac{dy}{dx} = 3x^2 + 4x + 2 \quad\Longrightarrow\quad 2(y-1)\,dy = (3x^2 + 4x + 2)\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados:
\int 2(y-1)\,dy = \int (3x^2 + 4x + 2)\,dx.
No lado esquerdo:
\int 2(y-1)\,dy = 2\int (y-1)\,dy = 2\Bigl(\tfrac{y^2}{2} - y\Bigr) = y^2 - 2y.
No lado direito:
\int (3x^2 + 4x + 2)\,dx = x^3 + 2x^2 + 2x + C.
Logo a relação implícita é
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=-1. Substituindo x=0 e y=-1 em y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + C, obtemos
(-1)^2 - 2(-1) = 0 + 0 + 0 + C \quad\Longrightarrow\quad 1 + 2 = C \quad\Longrightarrow\quad C = 3.
Assim a relação completa é
y^2 - 2y = x^3 + 2x^2 + 2x + 3.

Passo 5

Resolvemos para y como equação quadrática:
y^2 - 2y - (x^3 + 2x^2 + 2x + 3) = 0.
Pela fórmula de Bhaskara,
y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4\bigl(x^3 + 2x^2 + 2x + 3\bigr)}}{2} = 1 \pm \sqrt{x^3 + 2x^2 + 2x + 4}.

Passo 6

Para x=0 temos as duas possíveis raízes
y(0) = 1 \pm \sqrt{4} = 1 \pm 2,
isto é, y(0)=3 ou y(0)=-1. Como queremos y(0)=-1, escolhemos o sinal “ -”. Portanto a solução do problema de valor inicial é
\boxed{y(x) = 1 - \sqrt{x^3 + 2x^2 + 2x + 4}.}

Resposta

y(x) = 1 - \sqrt{x^3 + 2x^2 + 2x + 4}.

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