Resolva os problemas de contorno apresentados, lembrando que a solução não pode ser a trivial, ou seja,
, para isso, determine o valor da contante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial
y'' + k y = 0 com duas condições: y(0) = 0 e y'(\pi/2) = 0. Nosso objetivo é encontrar o valor da constante k de modo que a solução não seja trivial, ou seja, que y(x) não seja sempre zero. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e aplicar as condições de contorno.Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea
y'' + k y = 0. A forma geral da solução depende do valor de k. Vamos considerar três casos:k > 0: As soluções são combinações de funções seno e cosseno.k = 0: A equação se simplifica paray'' = 0, cuja solução é uma função linear.k < 0: As soluções envolvem funções exponenciais.
Como queremos soluções não triviais, vamos focar no caso onde
k > 0, pois é o mais interessante para obter funções oscilatórias.Passo 3
Assumindo que
k > 0, podemos escrever k como k = ω², onde ω é uma frequência angular positiva. A solução geral da equação fica:Aqui,
A e B são constantes que vamos determinar usando as condições de contorno.Passo 4
Agora vamos aplicar a primeira condição de contorno:
y(0) = 0. Substituindo x = 0 na solução geral:Como
y(0) = 0, então A = 0. A solução simplifica para:Passo 5
Com a solução simplificada, vamos aplicar a segunda condição de contorno:
y'(\pi/2) = 0. Primeiro, vamos encontrar a derivada de y(x):Agora, substituindo
x = \pi/2:Para que isso seja zero, ou
B = 0 (o que nos daria a solução trivial, que não queremos) ou \cos\left(\omega \cdot \frac{\pi}{2}\right) = 0. Portanto, precisamos que:Passo 6
A função cosseno é zero em argumentos ímpares múltiplos de
\pi/2. Assim, temos:Simplificando:
Como estamos procurando o menor valor positivo de
k, tomamos n = 0:Passo 7
Lembrando que
k = \omega², substituímos \omega = 1:Resposta
O valor da constante
k que garante uma solução não trivial é k = 1.