Resolva os problemas:
Determine o valor de a para que o sistema
\left\{ \begin{array}{c} -y+a z=-2 \\ a x-2 y+4 z=-5 \\ x+y+z=a \end{array} \right.
admita um a única solucão.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} -y + a\,z = -2,\\\ a\,x - 2y + 4z = -5,\\\ x + y + z = a \end{cases}
e pede para determinar os valores de a para que haja solução única. Em álgebra linear, um sistema quadrado tem solução única se, e somente se, o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix} 0 & -1 & a\\\ a & -2 & 4\\\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Vamos calcular o determinante \det(A).

Passo 3

Expandindo o determinante pela primeira linha, obtemos
\det(A) =0\cdot\det\begin{pmatrix}-2&4\\\ 1&1\end{pmatrix} -(-1)\cdot\det\begin{pmatrix}a&4\\\ 1&1\end{pmatrix} +a\cdot\det\begin{pmatrix}a&-2\\\ 1&1\end{pmatrix}.
Simplificando cada termo:

Passo 4

Calculemos separadamente:
-(-1)\cdot\bigl(a\cdot1 - 4\cdot1\bigr)=a-4,
a\cdot\bigl(a\cdot1 - (-2)\cdot1\bigr)=a\,(a+2)=a^2+2a.
Logo
\det(A)=(a-4)+(a^2+2a)=a^2+3a-4.

Passo 5

Fatorando o polinômio,
a^2+3a-4=(a+4)(a-1).
Para que exista solução única, precisamos de
\det(A)\neq0\quad\Longrightarrow\quad(a+4)(a-1)\neq0 \quad\Longrightarrow\quad a\neq1,\;a\neq-4.

Resposta

O sistema admite solução única para todos os valores de a tais que
a\neq1\quad\text{e}\quad a\neq-4.

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