Resolva os problemas:
Discuta o sistema linear
\left\{ \begin{array}{l} 2 x-y+z=3 \\ x-2 y-z=0 \\\ 3 x-y+2 z=1 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com três equações e três incógnitas x,y,z:
\begin{cases} 2x - y + z = 3,\\\ x - 2y - z = 0,\\\\ 3x - y + 2z = 1. \end{cases}
O objetivo é discutir a existência e a unicidade de soluções. Para isso, vamos primeiro calcular o determinante da matriz de coeficientes e, como ele for zero, usar escalonamento para verificar compatibilidade.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ 1 & -2 & -1\\\\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}
e calculamos
\det(A) =2\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix} -(-1)\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 3 & 2\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 3 & -1\end{pmatrix}.
Agora os menores:
\det\begin{pmatrix}-2 & -1\\\ -1 & 2\end{pmatrix} =(-2)\cdot2-(-1)\cdot(-1)=-4-1=-5,
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\\ 3 & 2\end{pmatrix} =1\cdot2-(-1)\cdot3=2+3=5,
\det\begin{pmatrix}1 & -2\\\ 3 & -1\end{pmatrix} =1\cdot(-1)-(-2)\cdot3=-1+6=5.
Logo,
\det(A)=2\cdot(-5)+1\cdot5+1\cdot5=-10+5+5=0.
Como \det(A)=0, a matriz é singular e o sistema pode ser compatível indeterminado ou incompatível.

Passo 3

Para decidir, escalonamos o sistema ampliado
\bigl[\,A\mid b\,\bigr] =\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 &\bigm|& 3\\\\ 1 & -2 & -1&\bigm|& 0\\\\ 3 & -1 & 2 &\bigm|& 1 \end{pmatrix}.
Troque a primeira linha pela segunda (para ter pivô 1):
\begin{pmatrix} 1 & -2 & -1 &\bigm|& 0\\\\ 2 & -1 & 1 &\bigm|& 3\\\\ 3 & -1 & 2 &\bigm|& 1 \end{pmatrix}.
Elimine abaixo do pivô em x:
L_2\leftarrow L_2-2L_1\;\Rightarrow\;(0,\;3,\;3\,\bigm|\,3),\qquad L_3\leftarrow L_3-3L_1\;\Rightarrow\;(0,\;5,\;5\,\bigm|\,1).
O sistema escalonado fica
\left\{ \begin{aligned} x \;-\;2y\;-\;z&=0,\\\\ 3y\;+\;3z&=3,\\\\ 5y\;+\;5z&=1. \end{aligned} \right.

Passo 4

Da segunda equação vem
3y+3z=3\;\Longrightarrow\;y+z=1,
e da terceira
5y+5z=1\;\Longrightarrow\;y+z=\frac{1}{5}.
Essas duas condições são contraditórias ( 1\neq\tfrac15), logo o sistema é incompatível.

Resposta

O sistema é incompatível e não possui solução.

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