Resolva os problemas:
Quais são os valores de a para que o sistema linear
\left\{ \begin{array}{c} a x+y-z=4 \\ x+a y+z=0 \text { seja po } \\ x-z=2 \end{array} \right.
ssível e determinado?

Passo 1

O enunciado pede os valores de a que tornam o sistema
\begin{cases} a x + y - z = 4,\\\ x + a y + z = 0,\\\ x - z = 2 \end{cases}
possível e determinado, isto é, com única solução. Para isso, vamos usar o fato de que um sistema linear é determinado se, e somente se, o determinante da matriz de coeficientes for não nulo.

Passo 2

Escrevendo a matriz dos coeficientes, temos
A = \begin{pmatrix} a & 1 & -1\\\\ 1 & a & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
O próximo passo é calcular \det(A)$.

Passo 3

Usando a expansão pela primeira linha,
\det(A) = a \cdot \det\!\begin{pmatrix}a & 1\\[6pt]0 & -1\end{pmatrix} - 1 \cdot \det\!\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} + (-1)\cdot \det\!\begin{pmatrix}1 & a\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Agora calculamos cada menor:
\det\begin{pmatrix}a & 1\\\ 0 & -1\end{pmatrix} = a\cdot(-1)-1\cdot0 = -a,
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & -1\end{pmatrix} = 1\cdot(-1)-1\cdot1 = -2,
\det\begin{pmatrix}1 & a\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = 1\cdot0 - a\cdot1 = -a.
Substituindo em \det(A):
\det(A) = a\cdot(-a)\;-\;1\cdot(-2)\;+\;(-1)\cdot(-a) = -a^2 +2 + a = -a^2 + a + 2.]

Passo 4

Para ter solução única precisamos de \det(A)\neq0. Fatorando
-a^2 + a + 2 = -(a^2 - a -2) = -(a-2)(a+1),
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\det(A) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a=2\\ \text{ou}\\ a=-1.
Portanto, para o sistema ser possível e determinado basta exigir
\det(A)\neq0, isto é,
a \neq 2 \quad\text{e}\quad a \neq -1.

Resposta

Os valores de a que tornam o sistema possível e determinado são todos os reais, exceto
a = 2 \quad\text{e}\quad a = -1.

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