Resolva os problemas:
Qual é a solucão do sistema
\left\{ \begin{array}{c} x+2 y+z=1 \\\ 4 x+3 y+5 z=5 \\\ 3 x+y+4 z=4 \end{array} \right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear de três equações e três incógnitas:
\begin{cases} x + 2y + z = 1,\\\\ 4x + 3y + 5z = 5,\\\\ 3x + y + 4z = 4. \end{cases}
O conteúdo aqui é solução de sistemas lineares via método de substituição (eliminando variáveis).

Passo 2

Da primeira equação isolamos x:
x = 1 - 2y - z.

Passo 3

Substituímos x = 1 - 2y - z nas outras duas equações:
Na segunda:
4(1 - 2y - z) + 3y + 5z = 5 \quad\Longrightarrow\quad 4 - 8y - 4z + 3y + 5z = 5 \quad\Longrightarrow\quad -5y + z = 1.
Na terceira:
3(1 - 2y - z) + y + 4z = 4 \quad\Longrightarrow\quad 3 - 6y - 3z + y + 4z = 4 \quad\Longrightarrow\quad -5y + z = 1.
Repare que ambas dão a mesma relação
-5y + z = 1.

Passo 4

Da relação -5y + z = 1 obtemos
z = 1 + 5y.
Como só conseguimos duas equações independentes para três incógnitas, o sistema é singular e tem infinitas soluções. Introduzimos o parâmetro t para y:
y = t,\quad z = 1 + 5t.

Passo 5

Voltando à expressão de x:
x = 1 - 2y - z = 1 - 2t - (1 + 5t) = -7t.
Logo a solução geral em forma paramétrica é
(x,y,z) = (-7t,\; t,\; 1 + 5t),\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\boxed{(x,y,z) = (-7t,\;t,\;1+5t),\quad t\in\mathbb{R}.}

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