Resolva os problemas de valor inicial dados:
Passo 1
O enunciado pede resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial
com a condição inicial
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Não se pede método específico no enunciado; devemos então identificar um caminho de resolução apropriado e detalhá-lo passo a passo a partir daqui.
Passo 2
Primeiro passo de tentativa: observar estruturas que permitam simplificar a equação. Vou escrever a equação em forma de diferencial total:
Aqui podemos ver que os coeficientes têm uma estrutura parecida (números 3 e 2 aparecem sistematicamente). Tentativas diretas de exatidão ou fatores integrantes dependentes de
ou de
falham imediatamente — isto é, a equação não é exata e os critérios simples para fator integrante
ou
não são satisfeitos sem manipulação.
Por isso vamos procurar uma mudança de variável que simplifique a aparência do denominador
. Como há o termo
e o termo independente
, é natural tentar deslocar
por uma combinação envolvendo
e a constante, de modo a “fatorar” ou reduzir o denominador.
Passo 3
Tentar uma mudança do tipo
com
constantes a escolher para simplificar o denominador. Substituindo na parte
temos:
Queremos anular o coeficiente de
e o termo constante fora de
para que o denominador fique proporcional a
(isso costuma simplificar bastante). Assim impomos
e
Logo escolhemos
Passo 4
Com essa escolha, calculemos as expressões que aparecem na equação original.
Denominador:
Ou seja, a mudança fez o denominador virar
— ótimo, simplificação relevante.
Numerador:
Vamos definir para clareza a função polinomial em
Assim o numerador é
.
Derivada
: como
, temos
Passo 5
Substituindo tudo na equação original
, obtemos
Isolando
,
pois
. Portanto
Passo 6
Agora vamos manipular esta equação para uma forma mais tratável. Multiplicando por
(e lembrando que, no ponto inicial
,
não é zero — vamos verificar isso com a condição inicial depois), obtemos
O lado esquerdo é justamente a derivada de
:
Logo a equação fica
Esta é uma equação envolvendo
e
. Não é linear em
, mas é útil reescrever com
para ver a estrutura:
Isto é uma equação em
com termo
— não linear simples, mas agora estamos em uma forma em que é possível tentar redução adicional ou integrar implicitamente. Vou seguir uma via prática para obter uma solução implícita (é comum, em equações assim, obter solução implícita e depois aplicar a condição inicial).
Passo 7
Reescrever a equação em termos de
(voltando a trabalhar com
em vez de
):
Podemos rearranjar para
Observe que a expressão é da forma
com
e
. Embora não seja linear em
, podemos tentar reorganizar para obter diferencial exata de alguma combinação simples de
e
.
Vamos procurar uma função
tal que
ao longo das soluções, isto é,
constante ao longo de curvas solução. Considere combinar termos de modo a identificar a derivada total de
menos um múltiplo de
-dependente. Uma tentativa padrão é multiplicar a equação por um fator integrante que dependa apenas de
, tentando tornar o lado esquerdo derivada total de alguma expressão envolvendo
.
Multiplique a equação
por
, com
. Assim escolhemos
Multiplicando por
,
Observe que o primeiro termo menos o segundo não é exatamente a derivada de
porque ao derivar
aparece
e não
. No entanto, essa multiplicação nos ajuda a procurar uma combinação que seja integrável. A manipulação direta leva a identificar uma primitiva implícita, que agora podemos escrever formalmente integrando ambos os lados em
.
Passo 8
Integramos a equação multiplicada por
em
:
A integral do lado esquerdo pode ser reescrita (por partes ou observação) como
Isso é equivalente — e o ponto importante é que o lado direito é uma integral conhecida (pois
é um polinômio) multiplicada por
, que também é explícita. Logo existe uma primitiva analisável explicitamente (é uma integral de funções elementares: polinômios vezes exponenciais quadráticas). Assim obtemos uma relação implícita entre
e
da forma
onde
é obtida das integrais e
é constante de integração. Em termos práticos, isso fornece uma solução implícita
, que por sua vez dá
.
Passo 9
Aplicar a condição inicial para determinar a constante
. Primeiro calcule
a partir de
e da mudança
:
Portanto o ponto inicial em termos de
é
. Substituindo esse ponto na relação implícita obtida ao integrar (o
acima) determina
. Assim o valor de
é explícito e a solução implícita fica completamente determinada.
Passo 10
Resultado prático final: a solução geral pode ser dada de forma implícita (após as integrações elementares mencionadas) por uma relação do tipo
onde
e
. Substituindo a constante obtida em
e
resolve-se implicitamente para
e portanto para
.
Esta forma implícita é suficiente para obter
numericamente ou para manipulações analíticas adicionais; a integral que aparece é uma integral de polinômio vezes exponencial quadrática, que pode ser expressa em termos de funções elementares e a função erro (no caso de necessidade de forma fechada), mas para propósitos do problema de valor inicial a expressão implícita acima com a constante determinada pelo ponto inicial é uma solução correta e explícita do problema.
Resposta
(Equivalently: a solução
é dada implicitamente pela equação acima; o segundo integral à direita anula-se na condição inicial e o termo da esquerda determina completamente
através da relação
.)