Resolva os problemas de valor inicial para r como uma função vetorial de t
d rd t=(32(t+1)^1 / 2, e^-t, 1t+1) com condição inicial r(0)=(0,0,1)

Passo 1

O exercício pede para encontrar a função vetorial vec r(t) que satisfaz
dvec rdt = l(tfrac32 (t+1)^1/2,;e^-t,;tfrac1t+1r)
com condição inicial vec r(0) = (0,0,1). O conteúdo principal é integração componente a componente para determinar as constantes usando a condição inicial.

Passo 2

Para a primeira componente, temos dr1dt = tfrac32 (t+1)^1/2. Integramos:
r1(t) = integral tfrac32 (t+1)^1/2,dt = (t+1)^3/2 + C1
Usando r1(0)=0:
1 + C1 = 0 implies C1 = -1
Então
r1(t) = (t+1)^3/2 - 1

Passo 3

Para a segunda componente, dr2dt = e^-t. Integramos:
r2(t) = integral e^-t,dt = -e^-t + C2
Usando r2(0)=0:
-1 + C2 = 0 implies C2 = 1
Logo
r2(t) = 1 - e^-t

Passo 4

Para a terceira componente, dr3dt = tfrac1t+1. Integramos:
r3(t) = integral 1t+1,dt = ln|t+1| + C3
Como t+1>0 aqui e r3(0)=1:
0 + C3 = 1 implies C3 = 1
Portanto
r3(t) = ln(t+1) + 1

Resposta

vec r(t) = l((t+1)^3/2-1,;1 - e^-t,;ln(t+1)+1r)

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