Resolver o problema de valor inicial (achar a solução y(x) que passa por (1,0)).
Exibir um intervalo onde a solução é única.
Dizer o que garante a unicidade da solução encontrada.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação pode ser escrita como equação ordinária na forma dy/dx=\cdots.
O ponto inicial é (x_0,y_0)=(1,0).
Os coeficientes são polinômios (logo suaves) — mas atenção: pode haver pontos onde dividimos por algo que pode ser zero (como x ou x+ y); isso influencia domínio.
Passo 2
Transformar a equação diferencial para a forma explícita dy/dx=f(x,y). Partindo de
Antes de resolver, observo se há uma estrutura que facilita: tanto o numerador quanto o denominador são homogêneos de grau 2 em x,y (todos os termos têm grau 2). Isso sugere a substituição homogênea padrão y=vx (isto é, v=y/x).
Passo 3
Aplicar a substituição y=vx. Primeiro escrevo dy/dx em termos de v:
Essa é a solução implícita geral. Note que, no processo de separação/integral, quando fiz a decomposição usei divisão por v — isto presume v\neq0, i.e. y\neq0. Portanto devo checar também as soluções constantes que podem ter sido perdidas ao dividir por v. Há dois casos óbvios da equação v(2+v)=K x^{-4}:
Se K\neq0, então v satisfaz essa relação não trivial.
Se K=0, então v(2+v)=0, ou seja v=0 ou v=-2. Em termos de y, isso corresponde a duas soluções particulares:
v=0 \Rightarrow y=0 (solução constante).
v=-2 \Rightarrow y=-2x (solução linear).
Ambas são soluções do EDO — posso verificar substituindo na equação original (fácil de checar diretamente).
Passo 7
Aplicar a condição inicial y(1)=0. Substituindo x=1 e y=0 na forma implícita y(2x+y)=K x^{-2} dá
isto é, as curvas solução são y=0 ou y=-2x. A condição inicial y(1)=0 seleciona a solução y\equiv 0, porque y=-2x não passa por (1,0) (nela y(1)=-2). Portanto a solução do PVI é
y(x)\equiv 0.
Também é importante explicar por que não existe outra solução que passe por (1,0): a integração separou casos e o caso v=0 (i.e. y=0) foi tratado como solução particular que satisfaz a condição inicial; não há outra curva da família com K=0 que passe por (1,0) além de y=0.
Passo 8
Exibir um intervalo onde a solução é única e justificar unicidade. Vou usar o teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf (ou Teorema de Cauchy–Lipschitz): se f(x,y) e \partial f/\partial y são contínuas num retângulo aberto que contém o ponto inicial (x_0,y_0), então existe um único solução passando por esse ponto, pelo menos em algum intervalo em x centrado em x_0.
Aqui f(x,y)=-\dfrac{3xy+y^{2}}{x^{2}+xy}. Note que f é uma razão de polinômios; portanto f e suas derivadas parciais são contínuas em qualquer região onde o denominador x^{2}+xy não se anula. No ponto (1,0) temos x^{2}+xy=1\neq0, logo existe um pequeno retângulo ao redor de (1,0) em que x^{2}+xy permanece afastado de zero; aí f e \partial f/\partial y são contínuas. Por exemplo, podemos escolher o intervalo em x
I=(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2})
e o intervalo em yJ=(-\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}). Para todo (x,y)\in I\times J temos
mas esse cálculo só ilustra que podemos garantir que o denominador não zera escolhendo retângulos mais cuidadosos; mais diretamente, como o denominador é contínuo e vale 1 em (1,0), existe uma vizinhança onde ele não é zero. Assim, por Picard–Lindelöf existe uma solução única que passa por (1,0) definida em algum intervalo aberto contendo x=1; como já encontramos a solução y\equiv0 que satisfaz a condição inicial, essa é a única solução nesse intervalo.
Observação final: a solução y\equiv0 vale para todo x (exceto que ao avaliar a forma \frac{dy}{dx}=f(x,y) precisamos ter denominador não nulo para reescrever explicitamente; mas y=0 faz o denominador x^{2}, que só é zero em x=0). Porém a garantia de unicidade local pelo teorema requer apenas uma vizinhança de (1,0); escolhemos explicitamente I=(\tfrac12,\tfrac32) como exemplo de intervalo onde a solução é única.
Resposta
y(x)\equiv 0 em um intervalo contendo x=1, por exemplo em x\in(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}).
A unicidade é garantida pelo teorema de existência e unicidade (Picard–Lindelöf), pois f(x,y)=-\dfrac{3xy+y^{2}}{x^{2}+xy} e \partial f/\partial y são contínuas numa vizinhança de (1,0) (o denominador x^{2}+xy não se anula em (1,0)).