Resolva o PVI: y^{\prime}=\frac{3 x^{2}+1}{2 y}, y(1)=2.

Passo 1

O enunciado pede resolver o PVI
y' = \frac{3x^2 + 1}{2y},\quad y(1)=2.
Trata-se de uma equação diferencial de variáveis separáveis. Vamos separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevendo em forma separável:
2y\,dy = (3x^2 + 1)\,dx.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 3

Integrais indefinidas:
\int 2y\,dy = y^2 + C_1,
\int (3x^2 + 1)\,dx = x^3 + x + C_2.
Igualando e agrupando as constantes em C, resulta
y^2 = x^3 + x + C.

Passo 4

Impondo a condição inicial y(1)=2:
2^2 = 1^3 + 1 + C \quad\Longrightarrow\quad 4 = 2 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 2.
Assim,
y^2 = x^3 + x + 2.

Passo 5

Como y(1)=2>0, escolhemos o ramo positivo da raiz:
y = \sqrt{x^3 + x + 2}.

Resposta

y(x) = \sqrt{x^3 + x + 2}.

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