Resolva, por qualquer método, os sistemas:
\left\{\begin{array}{c}7 x-5 y-2 z=8 \\\\ 9 x+3 y+5 z=16 \\\\ 4 x+7 y+3 z=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} 7x - 5y - 2z = 8,\\\\ 9x + 3y + 5z = 16,\\\\ 4x + 7y + 3z = 3, \end{cases}
e pede a solução (x,y,z). Vamos usar o método de eliminação de Gauss para triangularizar o sistema e depois fazer substituições reversas.

Passo 2

Usamos a primeira equação como pivô e eliminamos x da segunda e da terceira equações. Fazemos
\text{Eq2} \leftarrow \text{Eq2} - \frac{9}{7}\,\text{Eq1},\qquad \text{Eq3} \leftarrow \text{Eq3} - \frac{4}{7}\,\text{Eq1}.
Calculando os coeficientes, obtemos
\text{Eq2}:0\cdot x + \frac{66}{7}y + \frac{53}{7}z = \frac{40}{7}, \qquad \text{Eq3}:0\cdot x + \frac{69}{7}y + \frac{29}{7}z = -\frac{11}{7}.

Passo 3

Para simplificar, multiplicamos essas duas equações por 7, resultando no sistema
\begin{cases} 66\,y + 53\,z = 40,\\\\ 69\,y + 29\,z = -11. \end{cases}

Passo 4

Eliminamos y multiplicando a primeira equação por 69 e a segunda por 66, depois subtraindo-as:
(66\cdot69 - 69\cdot66)\,y \;+\;(53\cdot69 - 29\cdot66)\,z \;=\; 40\cdot69 -(-11)\cdot66.
O termo em y some, sobrando
1743\,z = 3486 \quad\Rightarrow\quad z = 2.

Passo 5

Substituímos z = 2 na equação 66y + 53z = 40:
66\,y + 53\cdot2 = 40 \quad\Rightarrow\quad 66\,y = -66 \quad\Rightarrow\quad y = -1.

Passo 6

Por fim, substituímos y = -1 e z = 2 na primeira equação 7x - 5y - 2z = 8:
7x - 5(-1) - 2\cdot2 = 8 \quad\Rightarrow\quad 7x + 5 - 4 = 8 \quad\Rightarrow\quad 7x = 7 \quad\Rightarrow\quad x = 1.

Resposta

(x,y,z) = (1, -1, 2)

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