Resolva, por qualquer método, os sistemas:
\left\{\begin{array}{c}a x-y=2 a \\\ a x+2 y=-a\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear em duas incógnitas x\) e \(y\) dependente do parâmetro \(a\): \[\begin{cases} a\,x - y = 2a,\\\ a\,x + 2y = -a. \end{cases}
O conteúdo envolvido é resolução de sistemas (2\times2], que pode ser feita por eliminação ou pela regra de Cramer.

Passo 2

Para verificar se há solução única usamos o determinante da matriz dos coeficientes:
D = \begin{vmatrix} a & -1\\\ a & 2 \end{vmatrix} = a\cdot 2 - a\cdot(-1) = 2a + a = 3a.
Se a\neq 0, então D\neq 0 e existe solução única. Se a=0, o determinante zera e pode haver infinitas soluções ou nenhuma.

Passo 3

Supondo a\neq 0, aplicamos a regra de Cramer. Calculamos os determinantes numeradores:
D_x = \begin{vmatrix} 2a & -1\\\\ -\,a & 2 \end{vmatrix} = 2a\cdot2 - (-a)\cdot(-1) = 4a - a = 3a,
D_y = \begin{vmatrix} a & 2a\\\ a & -\,a \end{vmatrix} = a\cdot(-a) - a\cdot2a = -a^2 -2a^2 = -3a^2.
Logo
x = \frac{D_x}{D} = \frac{3a}{3a} = 1, \qquad y = \frac{D_y}{D} = \frac{-3a^2}{3a} = -\,a.

Passo 4

Agora, para a=0\) temos o sistema \[\begin{cases} 0\cdot x - y = 0,\\\\ 0\cdot x + 2y = 0, \end{cases}
que se reduz a
-y = 0,\quad 2y = 0
ou seja y=0\]. A variável \(x não aparece em nenhuma equação, ficando livre. Assim existe infinitas soluções
\{(x,0)\mid x\in\mathbb{R}\}.

Resposta

Para a\neq 0 a solução única é
(x,y) = \bigl(1,\,-a\bigr).
Para a=0 há infinitas soluções dadas por
(x,y) = (x,0),\quad x\in\mathbb{R}.

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