Resolva em R as equações e inequações a seguir: (a) raiz(3^(x-1)) = (raiz(9^x))^(2/5).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para resolver a equação no conjunto dos números reais R. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades de potências e radicais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os radicais. Lembre-se que e . Então, podemos reescrever a equação assim:

Passo 3

Agora, aplicamos a regra de potência de potência, ou seja, . Vamos simplificar ambos os lados:
Lado esquerdo:
Lado direito:

Passo 4

Notamos que pode ser escrito como , então vamos substituir:

Passo 5

Agora nossa equação está assim:
Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para x. Primeiro, eliminamos os denominadores multiplicando todos os termos por 10 (o mínimo múltiplo comum de 2 e 5):

Passo 7

Agora, distribua o 5 no lado esquerdo:
Em seguida, subtraia de ambos os lados:

Passo 8

Finalmente, isolamos x dividindo ambos os lados por 3:

Resposta

A solução da equação é .

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