Resolva, em
, as seguintes equações exponenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em
, a equação exponencial
Informações dadas:
- A equação envolve potências com expoentes lineares em
: e . - Pedido: encontrar todos os
que satisfazem a igualdade.
Passo 2
Primeira observação prática (conversão de representação):
é a mesma coisa que
porque
É útil escrever os dois lados com a mesma base, assim fica muito mais simples comparar as potências.
Passo 3
Reescrevendo ambos os lados com a mesma base:
Agora uma propriedade importante de potências: se
e
com
, então necessariamente
. Explicando por cima (sem formalidade pesada): a função
é injetora (não dá o mesmo valor para dois expoentes diferentes) quando
e
. No nosso caso
satisfaz
e
, então podemos igualar os expoentes.
Passo 4
Igualando os expoentes, obtemos a equação linear
Agora vamos resolver essa equação passo a passo.
Passo 5
Isolando
:
- Subtrair
de ambos os lados:
- Somar
em ambos os lados:
- Dividir ambos os lados por
:
Explanação breve: em cada passo foi usado o princípio de manter a igualdade aplicando a mesma operação em ambos os lados (subtrair, somar, dividir). Isso preserva as soluções.
Passo 6
Verificação (sempre bom checar): substituir
nos expoentes:
Assim ambos os lados valem
, logo a igualdade se verifica e
é solução válida.
Passo 7
Comentário didático rápido (método alternativo): poderia também aplicar logaritmo em ambos os lados. Por exemplo tomar
dá
. Como
, pode-se dividir por ele e voltar à mesma equação
. É o mesmo raciocínio, só com outra linguagem.