Resolva, em R, as seguintes equações exponenciais:
0,5^{(3 x+4)}=\frac{1}{2}^{(8 x-6)}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{R}, a equação exponencial
\,0,5^{(3x+4)}=\frac{1}{2}^{(8x-6)}.
Informações dadas:
  • A equação envolve potências com expoentes lineares em x: 3x+4 e 8x-6.
  • Pedido: encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a igualdade.

Passo 2

Primeira observação prática (conversão de representação): \,0,5 é a mesma coisa que \dfrac{1}{2} porque
\,0,5=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}.
É útil escrever os dois lados com a mesma base, assim fica muito mais simples comparar as potências.

Passo 3

Reescrevendo ambos os lados com a mesma base:
\left(\frac{1}{2}\right)^{3x+4}=\left(\frac{1}{2}\right)^{8x-6}.
Agora uma propriedade importante de potências: se a^u=a^v e a>0 com a\neq1, então necessariamente u=v. Explicando por cima (sem formalidade pesada): a função t\mapsto a^t é injetora (não dá o mesmo valor para dois expoentes diferentes) quando a>0 e a\neq1. No nosso caso a=\dfrac{1}{2} satisfaz 0<a<1 e a\neq1, então podemos igualar os expoentes.

Passo 4

Igualando os expoentes, obtemos a equação linear
3x+4=8x-6.
Agora vamos resolver essa equação passo a passo.

Passo 5

Isolando x:
  • Subtrair 3x de ambos os lados:
4=5x-6.
  • Somar 6 em ambos os lados:
10=5x.
  • Dividir ambos os lados por 5:
x=2.
Explanação breve: em cada passo foi usado o princípio de manter a igualdade aplicando a mesma operação em ambos os lados (subtrair, somar, dividir). Isso preserva as soluções.

Passo 6

Verificação (sempre bom checar): substituir x=2 nos expoentes:
3x+4=3\cdot2+4=6+4=10, \qquad 8x-6=8\cdot2-6=16-6=10.
Assim ambos os lados valem \left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}, logo a igualdade se verifica e x=2 é solução válida.

Passo 7

Comentário didático rápido (método alternativo): poderia também aplicar logaritmo em ambos os lados. Por exemplo tomar \ln (3x+4)\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=(8x-6)\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right). Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)\neq0, pode-se dividir por ele e voltar à mesma equação 3x+4=8x-6. É o mesmo raciocínio, só com outra linguagem.

Resposta

x=2