Resolva o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de equação diferencial de valor inicial. Ou seja, a gente precisa encontrar uma função
que satisfaz essa equação:
Para resolver isso, vamos usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar os termos que envolvem
dos que envolvem
. Dividindo ambos os lados por 2, temos:
Isso facilita a separação das variáveis.
Passo 3
Agora, vamos escrever
como
e multiplicar ambos os lados por
para isolar os termos:
Isso nos ajuda a integrar ambos os lados de forma mais direta.
Passo 4
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, cada lado da equação está pronto para ser integrado em relação à sua própria variável.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados:
Isso nos dará funções integradas que podemos resolver para
.
Passo 6
Calculando as integrações:
Simplificando:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 8
Substituímos
de volta na equação:
Essa é a solução implícita da equação diferencial.
Resposta
A solução da equação diferencial de valor inicial é dada implicitamente por: