Resolva o seguinte PVI (Problema de Valor Inicial):
Passo 1
O enunciado dá o PVI e o ponto inicial. Pergunta o que devemos encontrar.
Dado:
Condição inicial:
O que se pede:
- Encontrar a solução
que satisfaça a equação diferencial e passe pelo ponto .
Informações úteis extraídas do enunciado (já organizadas para resolver):
onde a equação está na forma
.
Passo 2
Verificar se a equação é exata — isto nos diz se existe uma função potencial
tal que
descreve a equação.
Definição prática: a forma
é exata se as derivadas parciais satisfazem
Calculemos as parciais (tratamos
e
como variáveis independentes):
Como
, a equação é exata. Portanto existe
tal que
Passo 3
Encontrar a função potencial
integrando
em relação a
(tratando
como constante).
Integramos:
onde
é uma função arbitrária de
(apareceu porque ao integrar em
a constante de integração pode depender de
).
Assim propomos:
Passo 4
Determinar
impondo
.
Calculemos
:
Igualamos a
:
Integrando em
:
O
é constante absoluta — ao montar a solução implícita
ele se absorve na constante geral
. Podemos então tomar
Passo 5
Escrever a solução geral implícita e aplicar a condição inicial para achar a constante
.
A solução geral implícita é
Usamos o ponto
. Calculemos passo a passo (tudo em aritmética exata):
Somando:
Portanto
. A solução implícita particular é
Passo 6
Transformar a solução implícita em uma solução explícita
(opcional, mas útil na prova). Trata-se de uma equação quadrática em
.
Escrevemos em forma padrão:
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para
com
,
,
. A fórmula dá
Simplificando o discriminante:
E o denominador
. Portanto
A raiz quadrada exige
, ou seja
Para escolher o sinal
devemos usar a condição inicial: em
a solução deve ser
. Avaliando a expressão das duas opções no ponto inicial (fiz uma verificação rápida):
Assim
No ponto
a primeira alternativa dá
, a segunda dá
. Como a condição inicial exige o valor negativo, escolhemos o sinal menos. Portanto a solução explícita que satisfaz o PVI é
com domínio
e contendo o ponto inicial.