Resolva o seguinte PVI (Problema de Valor Inicial):
\begin{gathered} (2 x-y) d x+(5 y-x) d y=0 \\ y\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{2}{\sqrt{3}} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá o PVI e o ponto inicial. Pergunta o que devemos encontrar.
Dado:
(2x-y)\,dx+(5y-x)\,dy=0
Condição inicial:
y\!\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=-\frac{2}{\sqrt{3}}
O que se pede:
  • Encontrar a solução y(x) que satisfaça a equação diferencial e passe pelo ponto \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right).
Informações úteis extraídas do enunciado (já organizadas para resolver):
M(x,y)=2x-y,\qquad N(x,y)=5y-x,
onde a equação está na forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0.

Passo 2

Verificar se a equação é exata — isto nos diz se existe uma função potencial F(x,y) tal que dF=0 descreve a equação.
Definição prática: a forma M\,dx+N\,dy é exata se as derivadas parciais satisfazem
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as parciais (tratamos x e y como variáveis independentes):
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2x-y)=-1,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(5y-x)=-1.
Como \dfrac{\partial M}{\partial y}=\dfrac{\partial N}{\partial x}=-1, a equação é exata. Portanto existe F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)=2x-y \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)=5y-x.

Passo 3

Encontrar a função potencial F(x,y) integrando M em relação a x (tratando y como constante).
Integramos:
\int (2x-y)\,dx = \int 2x\,dx - \int y\,dx = x^{2}-xy + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (apareceu porque ao integrar em x a constante de integração pode depender de y).
Assim propomos:
F(x,y)=x^{2}-xy+h(y).

Passo 4

Determinar h(y) impondo \dfrac{\partial F}{\partial y}=N(x,y).
Calculemos \dfrac{\partial F}{\partial y}:
\frac{\partial F}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}-xy+h(y)\big)=-x+h'(y).
Igualamos a N(x,y)=5y-x:
-x+h'(y)=5y-x \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=5y.
Integrando em y:
h(y)=\int 5y\,dy=\frac{5}{2}y^{2}+C_0.
O C_0 é constante absoluta — ao montar a solução implícita F(x,y)=C ele se absorve na constante geral C. Podemos então tomar
F(x,y)=x^{2}-xy+\frac{5}{2}y^{2}.

Passo 5

Escrever a solução geral implícita e aplicar a condição inicial para achar a constante C.
A solução geral implícita é
x^{2}-xy+\frac{5}{2}y^{2}=C.
Usamos o ponto \left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},-\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right). Calculemos passo a passo (tudo em aritmética exata):
x^{2}=\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{4}{3},
y^{2}=\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^{2}=\frac{4}{3},
-xy=-\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)=-\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}.
Somando:
x^{2}-xy+\frac{5}{2}y^{2}=\frac{4}{3}+\frac{4}{3}+\frac{5}{2}\cdot\frac{4}{3}=\frac{8}{3}+\frac{10}{3}=\frac{18}{3}=6.
Portanto C=6. A solução implícita particular é
x^{2}-xy+\frac{5}{2}y^{2}=6.

Passo 6

Transformar a solução implícita em uma solução explícita y(x) (opcional, mas útil na prova). Trata-se de uma equação quadrática em y.
Escrevemos em forma padrão:
\frac{5}{2}y^{2}-xy+(x^{2}-6)=0.
Aplicamos a fórmula de Bhaskara para ay^{2}+by+c=0 com a=\dfrac{5}{2}, b=-x, c=x^{2}-6. A fórmula dá
y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{x\pm\sqrt{x^{2}-4\cdot\frac{5}{2}\,(x^{2}-6)}}{2\cdot\frac{5}{2}}.
Simplificando o discriminante:
x^{2}-4\cdot\frac{5}{2}(x^{2}-6)=x^{2}-10(x^{2}-6)=x^{2}-10x^{2}+60=60-9x^{2}.
E o denominador 2a=2\cdot\frac{5}{2}=5. Portanto
y(x)=\frac{x\pm\sqrt{60-9x^{2}}}{5}.
A raiz quadrada exige 60-9x^{2}\ge 0, ou seja
|x|\le\sqrt{\frac{60}{9}}=\sqrt{\frac{20}{3}}.
Para escolher o sinal \pm devemos usar a condição inicial: em x=\dfrac{2}{\sqrt{3}} a solução deve ser y=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}. Avaliando a expressão das duas opções no ponto inicial (fiz uma verificação rápida):
\sqrt{60-9x^{2}}\bigg|_{x=\frac{2}{\sqrt{3}}}=\sqrt{60-9\cdot\frac{4}{3}}=\sqrt{60-12}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}.
Assim
y=\frac{x+4\sqrt{3}}{5}\quad\text{ou}\quad y=\frac{x-4\sqrt{3}}{5}.
No ponto x=\dfrac{2}{\sqrt{3}} a primeira alternativa dá y>0, a segunda dá y=-\dfrac{2}{\sqrt{3}}. Como a condição inicial exige o valor negativo, escolhemos o sinal menos. Portanto a solução explícita que satisfaz o PVI é
y(x)=\frac{x-\sqrt{60-9x^{2}}}{5},
com domínio |x|\le\sqrt{\dfrac{20}{3}} e contendo o ponto inicial.

Resposta

x^{2}-xy+\frac{5}{2}y^{2}=6
y(x)=\frac{x-\sqrt{60-9x^{2}}}{5},\qquad |x|\le\sqrt{\frac{20}{3}}.

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