Resolva as seguintes EDOs pelo método clássico:
dddot{y}+5 \ddot{y}(t)+9 \dot{y}(t)+5 y(t)=u(t), u(t)=6, \ddot{y}(0)=1, \dot{y}(0)=-1 e y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de terceira ordem com coeficientes constantes
\dddot{y}(t)+5\ddot{y}(t)+9\dot{y}(t)+5y(t)=u(t),
onde a entrada é constante \displaystyle u(t)=6, sujeita às condições iniciais
\ddot{y}(0)=1,\qquad \dot{y}(0)=-1,\qquad y(0)=1.
Dados relevantes: a equação é linear e homogênea em relação a y exceto pelo termo forçante constante u(t)=6. Precisamos encontrar y(t) válida para todo t (assumimos t\ge0) que satisfaça a EDO e as condições iniciais.

Passo 2

Estratégia clássica (sem resolver ainda): a solução geral será a soma da solução da homogênea (solução complementar) e de uma solução particular devido ao termo constante u(t)=6. Para obter a solução homogênea resolvemos o polinômio característico associado à parte homogênea; para a particular usamos o método dos coeficientes indeterminados (aqui, como u(t) é constante, tentamos uma constante). Depois impomos as condições iniciais para determinar as constantes arbitrárias.

Passo 3

Formamos o polinômio característico da parte homogênea associada a
\dddot{y}+5\ddot{y}+9\dot{y}+5y=0.
Substituindo y(t)=e^{rt} obtemos o polinômio
r^{3}+5r^{2}+9r+5=0.

Passo 4

Procuramos raízes racionais simples. Testando r=-1 (teste de raízes \pm1,\pm5), avaliamos o polinômio:
(-1)^{3}+5(-1)^{2}+9(-1)+5 = -1+5-9+5 = 0,
logo r=-1 é raiz. Dividimos o polinômio por (r+1) para obter o fator quadrático restante:
coeficientes: 1,\;5,\;9,\;5. Fazendo a divisão (ou método de Ruffini) obtemos o quociente
r^{2}+4r+5.

Passo 5

Resolvendo r^{2}+4r+5=0 obtemos
r = \frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2} = \frac{-4\pm \mathrm{i}2}{2} = -2\pm \mathrm{i}.
Portanto as raízes são r_{1}=-1 e r_{2,3}=-2\pm \mathrm{i}.

Passo 6

Para raízes complexas conjugadas \alpha\pm\mathrm{i}\beta a contribuição à solução homogênea é e^{\alpha t}(C\cos(\beta t)+D\sin(\beta t)). Assim a solução complementar (homogênea) é
y_{h}(t)=C_{1}e^{-t}+e^{-2t}\big(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\big),
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes a determinar.

Passo 7

Agora procuramos uma solução particular y_{p} para o lado direito constante u(t)=6. Como a entrada é constante, tentamos uma constante y_{p}=A. Substituindo na EDO (derivadas nulas) obtemos
5A=6 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{6}{5}.
Portanto
y_{p}(t)=\frac{6}{5}.

Passo 8

A solução geral é soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}e^{-t}+e^{-2t}\big(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\big)+\frac{6}{5}.

Passo 9

Precisamos determinar C_{1},C_{2},C_{3} usando as condições iniciais. Para isso é necessário obter y(0),\dot{y}(0),\ddot{y}(0) em termos dessas constantes. Primeiro avaliamos y(0):
y(0)=C_{1}+C_{2}+\frac{6}{5}.
Impondo y(0)=1 temos a primeira equação
C_{1}+C_{2}+\frac{6}{5}=1 \quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=-\frac{1}{5}.

Passo 10

Calculamos \dot{y}(t). Para economizar notação, defina A=C_{2} e B=C_{3} e o termo z(t)=e^{-2t}(A\cos t + B\sin t). Já sabemos a derivada de C_{1}e^{-t} é -C_{1}e^{-t}. Calculamos z'(t) usando produto e derivada das funções trigonométricas:
derivando z obtemos
z'(t)=e^{-2t}\big((B-2A)\cos t +(-A-2B)\sin t\big).
Assim
\dot{y}(t) = -C_{1}e^{-t} + e^{-2t}\big((C_{3}-2C_{2})\cos t +(-C_{2}-2C_{3})\sin t\big).
Avaliando em t=0 (onde \cos0=1,\\ \sin0=0) temos
\dot{y}(0) = -C_{1} + (C_{3}-2C_{2}).
Impondo \dot{y}(0)=-1 obtemos a segunda equação
- C_{1} + C_{3} - 2C_{2} = -1.

Passo 11

Calculamos \ddot{y}(t). Já que a derivada de -C_{1}e^{-t} é C_{1}e^{-t}, e usando a segunda derivada de z (pode-se derivar z' ou usar fórmula já trabalhada), obtemos
z''(t)=e^{-2t}\big((3A-4B)\cos t + (4A+3B)\sin t\big).
Portanto
\ddot{y}(t)=C_{1}e^{-t}+e^{-2t}\big((3C_{2}-4C_{3})\cos t + (4C_{2}+3C_{3})\sin t\big).
Avaliando em t=0 (onde \cos0=1,\\ \sin0=0) temos
\ddot{y}(0)= C_{1} + 3C_{2} -4C_{3}.
Impondo \ddot{y}(0)=1 obtemos a terceira equação
C_{1}+3C_{2}-4C_{3}=1.

Passo 12

Agora resolvemos o sistema linear formado pelas três equações:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=-\dfrac{1}{5},\\[6pt] - C_{1} -2C_{2} + C_{3} = -1,\\[6pt] C_{1}+3C_{2}-4C_{3}=1. \end{cases}]

Passo 13

Resolvendo passo a passo. Da primeira equação temos
C_{1}=-\frac{1}{5}-C_{2}.
Substituímos na segunda equação:
-\big(-\frac{1}{5}-C_{2}\big)-2C_{2}+C_{3}=-1
que simplifica para
\frac{1}{5}+C_{2}-2C_{2}+C_{3}=-1 \quad\Rightarrow\quad C_{3}-C_{2}=-\frac{6}{5}.
Assim
C_{3}=C_{2}-\frac{6}{5}.

Passo 14

Substituímos C_{1} e C_{3} na terceira equação:
\left(-\frac{1}{5}-C_{2}\right)+3C_{2}-4\left(C_{2}-\frac{6}{5}\right)=1.
Calculando termo a termo:
-\frac{1}{5}-C_{2}+3C_{2}-4C_{2}+\frac{24}{5}=1.
Agrupando os C_{2}:
-\frac{1}{5} + ( -C_{2}+3C_{2}-4C_{2} ) + \frac{24}{5} = 1
-\frac{1}{5} + (-2C_{2}) + \frac{24}{5} = 1.
Somando as constantes:
-\frac{1}{5}+\frac{24}{5}=\frac{23}{5},
então
-2C_{2}+\frac{23}{5}=1 \quad\Rightarrow\quad -2C_{2}=1-\frac{23}{5} = -\frac{18}{5}.
Logo
C_{2}=\frac{9}{5}.

Passo 15

Agora encontramos C_{3} e C_{1}. Usando C_{3}=C_{2}-\dfrac{6}{5} obtemos
C_{3}=\frac{9}{5}-\frac{6}{5}=\frac{3}{5}.
E usando C_{1}=-\dfrac{1}{5}-C_{2} obtemos
C_{1}=-\frac{1}{5}-\frac{9}{5}=-\frac{10}{5}=-2.

Passo 16

Portanto todas as constantes estão determinadas: C_{1}=-2, C_{2}=\dfrac{9}{5}, C_{3}=\dfrac{3}{5}. Substituindo na solução geral obtemos a solução completa:
y(t) = -2e^{-t} + e^{-2t}\!\left(\frac{9}{5}\cos t + \frac{3}{5}\sin t\right) + \frac{6}{5}.

Resposta

y(t) = -2e^{-t} + e^{-2t}\!\left(\frac{9}{5}\cos t + \frac{3}{5}\sin t\right) + \frac{6}{5}.

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