Resolva as seguintes EDOs pelo método clássico: dddot{y}+5 \ddot{y}(t)+9 \dot{y}(t)+5 y(t)=u(t), u(t)=6, \ddot{y}(0)=1, \dot{y}(0)=-1 e y(0)=1
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de terceira ordem com coeficientes constantes
\dddot{y}(t)+5\ddot{y}(t)+9\dot{y}(t)+5y(t)=u(t),
onde a entrada é constante \displaystyle u(t)=6, sujeita às condições iniciais
\ddot{y}(0)=1,\qquad \dot{y}(0)=-1,\qquad y(0)=1.
Dados relevantes: a equação é linear e homogênea em relação a y exceto pelo termo forçante constante u(t)=6. Precisamos encontrar y(t) válida para todo t (assumimos t\ge0) que satisfaça a EDO e as condições iniciais.
Passo 2
Estratégia clássica (sem resolver ainda): a solução geral será a soma da solução da homogênea (solução complementar) e de uma solução particular devido ao termo constante u(t)=6. Para obter a solução homogênea resolvemos o polinômio característico associado à parte homogênea; para a particular usamos o método dos coeficientes indeterminados (aqui, como u(t) é constante, tentamos uma constante). Depois impomos as condições iniciais para determinar as constantes arbitrárias.
Passo 3
Formamos o polinômio característico da parte homogênea associada a
\dddot{y}+5\ddot{y}+9\dot{y}+5y=0.
Substituindo y(t)=e^{rt} obtemos o polinômio
r^{3}+5r^{2}+9r+5=0.
Passo 4
Procuramos raízes racionais simples. Testando r=-1 (teste de raízes \pm1,\pm5), avaliamos o polinômio:
(-1)^{3}+5(-1)^{2}+9(-1)+5 = -1+5-9+5 = 0,
logo r=-1 é raiz. Dividimos o polinômio por (r+1) para obter o fator quadrático restante:
coeficientes: 1,\;5,\;9,\;5. Fazendo a divisão (ou método de Ruffini) obtemos o quociente
r^{2}+4r+5.
Passo 5
Resolvendo r^{2}+4r+5=0 obtemos
r = \frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2} = \frac{-4\pm \mathrm{i}2}{2} = -2\pm \mathrm{i}.
Portanto as raízes são r_{1}=-1 e r_{2,3}=-2\pm \mathrm{i}.
Passo 6
Para raízes complexas conjugadas \alpha\pm\mathrm{i}\beta a contribuição à solução homogênea é e^{\alpha t}(C\cos(\beta t)+D\sin(\beta t)). Assim a solução complementar (homogênea) é
y_{h}(t)=C_{1}e^{-t}+e^{-2t}\big(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\big),
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes a determinar.
Passo 7
Agora procuramos uma solução particular y_{p} para o lado direito constante u(t)=6. Como a entrada é constante, tentamos uma constante y_{p}=A. Substituindo na EDO (derivadas nulas) obtemos
5A=6 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{6}{5}.
Portanto
y_{p}(t)=\frac{6}{5}.
Passo 8
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_{1}e^{-t}+e^{-2t}\big(C_{2}\cos t + C_{3}\sin t\big)+\frac{6}{5}.
Passo 9
Precisamos determinar C_{1},C_{2},C_{3} usando as condições iniciais. Para isso é necessário obter y(0),\dot{y}(0),\ddot{y}(0) em termos dessas constantes. Primeiro avaliamos y(0):
Calculamos \dot{y}(t). Para economizar notação, defina A=C_{2} e B=C_{3} e o termo z(t)=e^{-2t}(A\cos t + B\sin t). Já sabemos a derivada de C_{1}e^{-t} é -C_{1}e^{-t}. Calculamos z'(t) usando produto e derivada das funções trigonométricas:
derivando z obtemos
z'(t)=e^{-2t}\big((B-2A)\cos t +(-A-2B)\sin t\big).
Assim
\dot{y}(t) = -C_{1}e^{-t} + e^{-2t}\big((C_{3}-2C_{2})\cos t +(-C_{2}-2C_{3})\sin t\big).
Avaliando em t=0 (onde \cos0=1,\\ \sin0=0) temos
\dot{y}(0) = -C_{1} + (C_{3}-2C_{2}).
Impondo \dot{y}(0)=-1 obtemos a segunda equação
- C_{1} + C_{3} - 2C_{2} = -1.
Passo 11
Calculamos \ddot{y}(t). Já que a derivada de -C_{1}e^{-t} é C_{1}e^{-t}, e usando a segunda derivada de z (pode-se derivar z' ou usar fórmula já trabalhada), obtemos
z''(t)=e^{-2t}\big((3A-4B)\cos t + (4A+3B)\sin t\big).
Portanto
\ddot{y}(t)=C_{1}e^{-t}+e^{-2t}\big((3C_{2}-4C_{3})\cos t + (4C_{2}+3C_{3})\sin t\big).
Avaliando em t=0 (onde \cos0=1,\\ \sin0=0) temos
\ddot{y}(0)= C_{1} + 3C_{2} -4C_{3}.
Impondo \ddot{y}(0)=1 obtemos a terceira equação
C_{1}+3C_{2}-4C_{3}=1.
Passo 12
Agora resolvemos o sistema linear formado pelas três equações:
Agora encontramos C_{3} e C_{1}. Usando C_{3}=C_{2}-\dfrac{6}{5} obtemos
C_{3}=\frac{9}{5}-\frac{6}{5}=\frac{3}{5}.
E usando C_{1}=-\dfrac{1}{5}-C_{2} obtemos
C_{1}=-\frac{1}{5}-\frac{9}{5}=-\frac{10}{5}=-2.
Passo 16
Portanto todas as constantes estão determinadas: C_{1}=-2, C_{2}=\dfrac{9}{5}, C_{3}=\dfrac{3}{5}. Substituindo na solução geral obtemos a solução completa: